Bài 1 trang 28 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A -4; 2 , B -4; 5 và C -1; 3 . a) Chứng minh các điểm A’ 2

Đề bài/câu hỏi:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm \(A\left( {-4;{\rm{ }}2} \right),{\rm{ }}B\left( {-4;{\rm{ }}5} \right)\) và \(C\left( {-1;{\rm{ }}3} \right).\)

a) Chứng minh các điểm \(A’\left( {2;{\rm{ }}4} \right),{\rm{ }}B’\left( {5;{\rm{ }}4} \right){\rm{ }}\) và \(C’\left( {3;{\rm{ }}1} \right)\) theo thứ tự là ảnh của A, B, C qua phép quay tâm O với góc quay -90°.

b) Gọi \(\Delta {A_1}{B_1}{C_1}\) là ảnh của ∆ABC qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện phép quay tâm O với góc quay -90° và phép đối xứng qua Ox. Tìm tọa độ các đỉnh của \(\Delta {A_1}{B_1}{C_1}.\)

Hướng dẫn:

Trong mặt phẳng, cho điểm O cố định và góc lượng giác \(\varphi \) không đổi. Phép biến hình biến điểm O thành điểm O và biến mỗi điểm M khác O thành M’ sao cho \(OM = OM’\) và góc lượng giác \(\left( {OM,OM’} \right) = \varphi \) được gọi là phép quay tâm O với góc quay \(\varphi \), kí hiệu \({Q_{\left( {O,\varphi } \right)}}\). O gọi là tâm quay, \(\varphi \) gọi là góc quay.

Phép quay tâm O, góc -90⁰: Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}x’ = y\\y’ = – x\end{array} \right.\)

Lời giải:

a)

Với ta có \(\overrightarrow {OA} = \left( { – 4;2} \right),\overrightarrow {OA’} = \left( {2;4} \right),\overrightarrow {AA’} = \left( {6;2} \right)\)

Do đó \(OA = OA’ = 2\sqrt 5 \) và \(AA’ = 2\sqrt {10} \)

Suy ra \(\cos \widehat {AOA’} = \frac{{O{A^2} + OA{‘^2} – AA{‘^2}}}{{2.OA.OA’}} = \frac{{{{\left( {2\sqrt 5 } \right)}^2} + {{\left( {2\sqrt 5 } \right)}^2} – {{\left( {2\sqrt {10} } \right)}^2}}}{{2.2\sqrt 5 .2\sqrt 5 }} = 0\)

Do đó \(\widehat {AOA’} = 90^\circ \)

Mà khi quay đoạn OA (với tâm O) theo hướng cùng chiều kim đồng hồ một góc 90° thì ta được đoạn OA’. Tức là, phép quay có góc quay lượng giác theo chiều âm một góc 90°.

Vì vậy góc lượng giác \(\left( {OA,{\rm{ }}OA’} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}-90^\circ .\)

Vậy A’ là ảnh của A qua phép quay tâm O với góc quay -90°.

Chứng minh tương tự, ta thu được B’, C’ theo thứ tự là ảnh của B, C qua phép quay tâm O với góc quay -90°.

b) Từ câu a, ta có phép quay tâm O, góc quay -90° biến ∆ABC thành ∆A’B’C’.

Ta có: \(\Delta {A_1}{B_1}{C_1}\;\) là ảnh của ∆A’B’C’ qua phép đối xứng trục Ox nên:

• \({A_1}\; = {\rm{ }}{Đ_{Ox}}\left( {A’} \right),\) do đó hai điểm A₁­ và A’(2; 4) có cùng hoành độ và có tung độ đối nhau, suy ra A₁(2; -4).

• \({B_1}\; = {\rm{ }}{{\rm{Đ}}_{Ox}}\left( {B’} \right),\) do đó hai điểm B₁­ và B’(5; 4) có cùng hoành độ và có tung độ đối nhau, suy ra B₁(5; -4).

• \({C_1}\; = {\rm{ }}{Đ_{Ox}}\left( {C’} \right),\)do đó hai điểm C₁­ và C’(3; 1) có cùng hoành độ và có tung độ đối nhau, suy ra C₁(3; -1).

Vậy tọa độ các đỉnh của ∆A₁B₁C₁ thỏa mãn yêu cầu bài toán là \({A_1}\left( {2;{\rm{ }}-4} \right),{\rm{ }}{B_1}\left( {5;{\rm{ }}-4} \right),{\rm{ }}{C_1}\left( {3;{\rm{ }}-1} \right).\)