Tính các các vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) xong tính tích vô hướng của chúng để tìm tọa độ điểm \(C. \. Gợi ý giải Giải bài 4.34 trang 65 sách bài tập toán 10 – Kết nối tri thức với cuộc sống – Bài 11. Tích vô hướng của hai vectơ. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(2;1) và B(4;3)….
Đề bài/câu hỏi:
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho hai điểm \(A(2;1)\) và \(B(4;3).\)
a) Tìm tọa độ của điểm \(C\) thuộc trục hoành sao cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A.\) Tính chu vi và diện tích của tam giác \(ABC.\)
b) Tìm tọa độ điểm \(D\) sao cho tam giác \(ABD\) vuông cân tại \(A.\)
Hướng dẫn:
– Tính các các vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) xong tính tích vô hướng của chúng để tìm tọa độ điểm \(C.\)
– Tính chu vi và diện tích tam giác \(ABC.\)
– Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = 0}\\{AB = AD}\end{array}} \right.\) để tìm tọa độ điểm \(D.\)
Lời giải:
a) Vì điểm \(C\) thuộc trục hoành nên tọa độ điểm \(C\) là: \(C(x;0)\)
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (2;2)\) và \(\overrightarrow {AC} = (x – 2; – 1)\)
Để tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) \( \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0\)
\( \Leftrightarrow \) \(2\left( {x – 2} \right) – 2 = 0\)
\( \Leftrightarrow \) \(2x – 6 = 0\)
\( \Leftrightarrow \) \(x = 3\)
Vậy \(C(3;0).\)
Ta có: \(AB = 2\sqrt 2 ,\) \(AC = \sqrt 2 \) và \(BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{{\left( {3 – 4} \right)}^2} + {3^2}} = \sqrt {10} \)
Chu vi tam giác \(ABC\) là: \(AB + AC + BC = 2\sqrt 2 + \sqrt 2 + \sqrt {10} = 3\sqrt 2 + \sqrt {10} \)
Diện tích tam giác \(ABC\) là: \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}.2\sqrt 2 .\sqrt 2 = 2\) (đvdt)
b) Gọi tọa độ điểm \(D\) là: \(D(x;y)\)
Ta có: \(\overrightarrow {AD} = (x – 2;y – 1)\) và \(\overrightarrow {AB} = (2;2)\)
Để tam giác \(ABD\) vuông cân tại \(A\)
\( \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = 0}\\{AB = AD}\end{array}} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2\left( {x – 2} \right) + 2\left( {y – 1} \right) = 0}\\{{{\left( {x – 2} \right)}^2} + {{\left( {y – 1} \right)}^2} = 8}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 3}\\{{{\left( {x – 2} \right)}^2} + {{\left( {y – 1} \right)}^2} = 8}\end{array}} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 3 – x}\\{{{\left( {x – 2} \right)}^2} + {{\left( {3 – x – 1} \right)}^2} = 8}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 3 – x}\\{{{\left( {x – 2} \right)}^2} = 4}\end{array}} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 3 – x}\\{x – 2 = \pm 2}\end{array}} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = 3}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 4}\\{y = – 1}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)
Vậy \(D(0;3)\) hoặc \(D(4; – 1)\)