Tính độ dài đoạn thẳng \(AB, \, \, AC, \, \, BC\) Áp dụng định lý Pi-ta-go đảo để chứng minh \(\Delta ABC\. Giải và trình bày phương pháp giải Giải bài 4.23 trang 58 sách bài tập toán 10 – Kết nối tri thức với cuộc sống – Bài 10. Vectơ trong mặt phẳng tọa độ. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(2; – 1),B(1;4) và C(7;0)….
Đề bài/câu hỏi:
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho ba điểm \(A(2; – 1),\,\,B(1;4)\) và \(C(7;0).\)
a) Tính độ dài các đoạn thẳng \(AB,\,\,BC\) và \(CA.\) Từ đó suy ra tam giác \(ABC\) là một tam giác vuông cân.
b) Tìm tọa độ của điểm \(D\) sao cho tứ giác \(ABDC\) là một hình vuông.
Hướng dẫn:
– Tính độ dài đoạn thẳng \(AB,\,\,AC,\,\,BC\)
– Áp dụng định lý Pi-ta-go đảo để chứng minh \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\)
– Sử dụng tích chất hai vectơ bằng nhau để tìm điểm \(D\): \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \)
Lời giải:
a) Ta có: \(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( {1 – 2} \right)}^2} + {{\left( {4 + 1} \right)}^2}} = \sqrt {26} \)
\(AC = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {{{\left( {7 – 2} \right)}^2} + {{\left( {0 + 1} \right)}^2}} = \sqrt {26} \)
\(BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{{\left( {7 – 1} \right)}^2} + {{\left( {0 – 4} \right)}^2}} = \sqrt {52} = 2\sqrt {13} \)
Xét \(\Delta ABC\) có: \(A{B^2} + A{C^2} = 26 + 26 = 52 = B{C^2}\)
\( \Rightarrow \) \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)
mặt khác \(AB = AC = \sqrt {26} \)
nên \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\)
b) Gọi điểm \(D\) có tọa độ là: \(D(x;y).\)
Xét hình vuông \(ABDC\) có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \\ \Leftrightarrow \,\,(1 – 2;4 + 1) = (x – 7;y – 0)\\ \Leftrightarrow \,\,( – 1;5) = (x – 7;y)\\ \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x – 7 = – 1}\\{y = 5}\end{array}} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 6}\\{y = 5}\end{array}} \right.\end{array}\)
Vậy \(D(6;5)\)