Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y \ge – 1}\\{y \le 1}\\{x + y \le 4}\\{y – x \le 4}\end{array}. Giải chi tiết Giải bài 2.27 trang 27 sách bài tập toán 10 – Kết nối tri thức với cuộc sống – Bài tập cuối Chương 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức…
Đề bài/câu hỏi:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F\left( {x;y} \right) = 2x + 3y\) với \(\left( {x;y} \right)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y \ge – 1}\\{y \le 1}\\{x + y \le 4}\\{y – x \le 4}\end{array}.} \right.\)
Hướng dẫn:
– Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y \ge – 1}\\{y \le 1}\\{x + y \le 4}\\{y – x \le 4}\end{array}.} \right.\)
– Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất dựa vào miền nghiệm vừa xác định xong kết luận.
Lời giải:
- Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y \ge – 1}\\{y \le 1}\\{x + y \le 4}\\{y – x \le 4}\end{array}.} \right.\)
Miền nghiệm của bất phương trình \(d:y \ge – 1\) là nửa mặt phẳng bờ \(d\) chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right).\)
Miền nghiệm của bất phương trình \({d_1}:y \le 1\) là nửa mặt phẳng bờ \({d_1}\) chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right).\)
Miền nghiệm của bất phương trình \(x + y \le 4\) là nửa mặt phẳng bờ \({d_2}:x + y = 4\) chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right).\)
Miền nghiệm của bất phương trình \(y – x \le 4\) là nửa mặt phẳng bờ \({d_3}:y – x = 4\) chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right).\)
Miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y \ge – 1}\\{y \le 1}\\{x + y \le 4}\\{y – x \le 4}\end{array}} \right.\) là: hình thang cân \(ABCD\) với \(A\left( { – 3;1} \right),\,\,B\left( {3;1} \right),\,\,C\left( {5; – 1} \right),\,\,D\left( { – 5; – 1} \right).\)
- Ta có: \(F\left( { – 3;1} \right) = 2\left( { – 3} \right) + 3.1 = – 6 + 3 = – 3.\)
\(\begin{array}{l}F\left( {3;1} \right) = 2.3 + 3.1 = 6 + 3 = 9.\\F\left( {5; – 1} \right) = 2.5 + 3\left( { – 1} \right) = 10 – 3 = 7.\\F\left( { – 5; – 1} \right) = 2\left( { – 5} \right) + 3\left( { – 1} \right) = – 10 – 3 = – 13.\end{array}\)
Vậy giá trị lớn nhất là \(F\left( {3;1} \right) = 9,\) giá trị nhỏ nhất là: \(F\left( { – 5; – 1} \right) = – 13.\)