Bài 2.26 trang 27 SBT toán 10 – Kết nối tri thức: Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau trên mặt phẳng tọa độ

Đề bài/câu hỏi:

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau trên mặt phẳng tọa độ:

a) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 \le x \le 10}\\{y > 0}\\{x – y > 4}\end{array}} \right.\)

b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 \le y \le 1}\\{x + y \le 2}\\{y – x \le 2}\end{array}} \right.\)

c) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0}\\{4x – 6y < 0}\\{2x – 3y \ge 1}\end{array}} \right.\)

Hướng dẫn:

– Vẽ các đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy.\)

– Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình trên.

Lời giải:

a) Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 \le x \le 10}\\{y > 0}\\{x – y > 4}\end{array}} \right.\)

Miền nghiệm của bất phương trình \(d:x \ge 0\) là nửa mặt phẳng bờ \(d\) chứa điểm \(\left( {1;0} \right).\)

Miền nghiệm của bất phương trình \({d_1}:x \le 10\) là nửa mặt phẳng bờ \(d{}_1\) chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\).

Miền nghiệm của bất phương trình \({d_2}:y > 0\) là nửa mặt phẳng bờ \({d_2}\) chứa điểm \(\left( {0;1} \right)\), bỏ đi đường \({d_3}\).

Miền nghiệm của bất phương trình \(x – y > 4\). Vẽ đường thẳng \({d_3}:x – y = 4\) trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy.\) Chọn điểm \(O\left( {0;0} \right)\) không thuộc đường thẳng \({d_3}\) và thay vào biểu thức \(x – y,\) ta được \(0 – 0 = 0 4\) là nửa mặt phẳng bờ \({d_3}\) không chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\), bỏ đi đường thẳng \({d_3}\).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 \le x \le 10}\\{y > 0}\\{x – y > 4}\end{array}} \right.\) là \(\Delta ABC\) với \(A\left( {4;0} \right),\) \(B\left( {10;0} \right),\) \(C\left( {10;6} \right).\)

b) Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 \le y \le 1}\\{x + y \le 2}\\{y – x \le 2}\end{array}} \right.\)

Miền nghiệm của bất phương trình \(d:y \ge 0\) là nửa mặt phẳng bờ \(d\) chứa điểm \(\left( {0;1} \right)\).

Miền nghiệm của bất phương trình \({d_1}:y \le 1\) là nửa mặt phẳng bờ \({d_1}\) chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\).

Xác định miền nghiệm của bất phương trình \(x + y \le 2.\) Vẽ đường thẳng \({d_2}:x + y = 2\) trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy.\) Chọn điểm \(O\left( {0;0} \right)\) không thuộc đường thẳng \({d_2}\) và thay vào biểu thức \(x + y,\) ta được: \(0 + 0 = 0 < 2,\) nên miền nghiệm của bất phương trình \(x + y \le 2\) là nửa mặt phẳng bờ \({d_2}\)chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\).

Xác định miền nghiệm của bất phương trình \(y – x \le 2.\) Vẽ đường thẳng \({d_3}:y – x = 2\) trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy.\) Chọn điểm \(O\left( {0;0} \right)\) không thuộc đường thẳng \({d_3}\) và thay vào biểu thức \(y – x,\) ta được: \(0 – 0 = 0 < 2,\) nên miền nghiệm của bất phương trình \(y – x \le 2\) là nửa mặt phẳng bờ \({d_3}\)chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 \le y \le 1}\\{x + y \le 2}\\{y – x \le 2}\end{array}} \right.\) là hình thang cân \(ABCD\) với \(A\left( { – 2;0} \right),\,\,B\left( {2;0} \right),\,\,C\left( {1;1} \right),\,\,D\left( { – 1;1} \right).\)

c) Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0}\\{4x – 6y < 0}\\{2x – 3y \ge 1}\end{array}} \right.\)

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0}\\{4x – 6y < 0}\\{2x – 3y \ge 1}\end{array}} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0}\\{2x – 3y < 0}\\{2x – 3y \ge 1}\end{array}} \right.\,\, \Leftrightarrow \)hệ phương trình vô nghiệm

Miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0}\\{4x – 6y < 0}\\{2x – 3y \ge 1}\end{array}} \right.\) là hệ bất phương trình vô nghiệm.