Bài 9 trang 96 Toán 10 – Kết nối tri thức: Cho hàm số y = f(x) = ax^2 + bx + c với đồ thị là parabol (P) có đỉnh I 5/2; – 1/4 và đi qua điểm A(1;2)

Đề bài/câu hỏi:

Cho hàm số \(y = f(x) = a{x^2} + bx + c\) với đồ thị là parabol (P) có đỉnh \(I\left( {\frac{5}{2}; – \frac{1}{4}} \right)\) và đi qua điểm \(A(1;2)\)

a) Biết rằng phương trình của parabol có thể viết dưới dạng \(y = a{(x – h)^2} + k\), tron đó I(h;k) là tọa độ đỉnh của parabol. Hãy xác định phương trình của parabol (P) đã cho và vẽ parabol này.

b) Từ parabol (P) đã vẽ ở câu a, hãy cho biết khoảng đồng biến và khoảng nghịch biến của hàm số \(y = f(x)\)

c) Giải bất phương trình \(f(x) \ge 0\)

Lời giải:

a) Parabol: \(y = a{(x – h)^2} + k\) với \(I(h;k) = \left( {\frac{5}{2}; – \frac{1}{4}} \right)\) là tọa độ đỉnh.

\( \Rightarrow y = a{\left( {x – \frac{5}{2}} \right)^2} – \frac{1}{4}\)

(P) đi qua \(A(1;2)\) nên \(2 = a{\left( {1 – \frac{5}{2}} \right)^2} – \frac{1}{4} \Rightarrow a = 1\)

\( \Rightarrow y = {\left( {x – \frac{5}{2}} \right)^2} – \frac{1}{4} \Leftrightarrow y = {x^2} – 5x + 6\)

Vậy parabol đó là \(y = {x^2} – 5x + 6\)

b) Vẽ parabol \(y = {x^2} – 5x + 6\)

+ Đỉnh \(I\left( {\frac{5}{2}; – \frac{1}{4}} \right)\)

+ Giao với Oy tại điểm \((0;6)\)

+ Giao với Ox tại điểm \((3;0)\) và \((2;0)\)

+ Trục đối xứng \(x = \frac{5}{2}\). Điểm đối xứng với điểm \((0;6)\) qua trục đối xứng có tọa độ \((5;6)\)

b) Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { – \frac{5}{2}; + \infty } \right)\)

Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { – \infty ; – \frac{5}{2}} \right)\)

c) \(f(x) \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} – 5x + 6 \ge 0\)

Cách 1: Quan sát đồ thị, ta thấy các điểm có\(y \ge 0\) ứng với hoành độ \(x \in ( – \infty ;2] \cup [3; + \infty )\)

Do đó tập nghiệm của BPT \(f(x) \ge 0\) là \(S = ( – \infty ;2] \cup [3; + \infty )\)

Cách 2:

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} – 5x + 6 \ge 0\\ \Leftrightarrow (x – 2)(x – 3) \ge 0\end{array}\)

Do đó \(x – 2\) và \(x – 3\) cùng dấu. Mà \(x – 2 > x – 3\;\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x – 3 \ge 0\\x – 2 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 3\\x \le 2\end{array} \right.\)

Tập nghiệm của BPT là \(S = ( – \infty ;2] \cup [3; + \infty )\)