Cho hàm số \(y = a{x^2} +bx + c\) – Xác định tọa độ đỉnh \(I(\frac {-b} {a};\frac {-\Delta} {4a})\. Phân tích và giải Giải bài 6.30 trang 28 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức – Bài tập cuối Chương 6. Với mỗi hàm số dưới đây, hãy vẽ đồ thị, tập tập giá trị, khoảng đồng biến,…
Đề bài/câu hỏi:
Với mỗi hàm số dưới đây, hãy vẽ đồ thị, tập giá trị, khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của nó:
a) \(y = – {x^2} + 6x – 9\)
b) \(y = – {x^2} – 4x + 1\)
c) \(y = {x^2} + 4x\)
d) \(y = 2{x^2} + 2x + 1.\)
Hướng dẫn:
Cho hàm số \(y = a{x^2} +bx + c\)
– Xác định tọa độ đỉnh \(I(\frac {-b} {a};\frac {-\Delta} {4a})\)
– Trục đối xứng \(x=\frac {-b} {a}\)
– Giao với trục \(Ox,\,\,Oy.\)
– Xác định tập giá trị của hàm số
– Từ đồ thị tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
Lời giải:
a) \(y = – {x^2} + 6x – 9\)
Ta có: \(a = – 1\) nên parabol quay bề lõm xuống dưới.
Đỉnh \(I\left( {3;0} \right).\) Trục đối xứng \(x = 3.\) Giao điểm của đồ thị với trục \(Oy\) là: \(A\left( {0; – 9} \right).\) Parabol cắt trục hoành tại \(x = 3.\)
Tập giá trị của hàm số là: \(\left( { – \infty ;0} \right].\)
Từ đồ thị ta thấy: Hàm số \(y = – {x^2} + 6x – 9\) đồng biến trên khoảng \(\left( { – \infty ;3} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right).\)
b) \(y = – {x^2} – 4x + 1\)
Ta có: \(a = – 1\) nên parabol quay bề lõm xuống dưới.
Đỉnh \(I\left( { – 2;5} \right).\) Trục đối xứng \(x = – 2.\) Giao điểm của hàm số với trục \(Oy\) là: \(\left( {0;1} \right).\) Giao điểm của hàm số với trục \(Ox\) là: \(x = – 2 + \sqrt 5 \) và \(x = – 2 – \sqrt 5 .\)
Tập giá trị của hàm số là: \(\left( { – \infty ;5} \right].\)
Từ đồ thị ta thấy: Hàm số \(y = – {x^2} – 4x + 1\) đồng biến trên khoảng \(\left( { – \infty ; – 2} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( { – 2; + \infty } \right).\)
c) \(y = {x^2} + 4x\)
Ta có: \(a = 1 > 0\) nên parabol quay bề lõm lên trên.
Đỉnh \(I\left( { – 2; – 4} \right).\) Trục đối xứng \(x = – 2.\) Giao điểm của hàm số với trục \(Oy\) là: \(\left( {0;0} \right).\) Giao điểm của hàm số với trục \(Ox\) là: \(x = 0\) và \(x = – 4.\)
Tập giá trị của hàm số là: \(\left[ { – 4; + \infty } \right).\)
Từ đồ thị ta thấy: Hàm số \(y = {x^2} + 4x\) đồng biến trên khoảng \(\left( { – 2; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( { – \infty ; – 2} \right).\)
d) \(y = 2{x^2} + 2x + 1\)
Ta có: \(a = 2 > 0\) nên parabol quay bề lõm lên trên.
Đỉnh \(I\left( { – \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right).\) Trục đối xứng \(x = – \frac{1}{2}.\) giao điểm của hàm số với trục \(Oy\) là: \(\left( {0;1} \right).\) Đồ thị hàm số không có giao điểm với trục \(Ox.\) Lấy điểm \(\left( {1;5} \right)\) thuộc đồ thị hàm số, điểm đối xứng với điểm đó qua trục đối xứng \(x = – \frac{1}{2}\) là: \(\left( { – 2;5} \right).\)
Tập giá trị của hàm số là: \(\left[ {\frac{1}{2}; + \infty } \right).\)
Từ đồ thị ta thấy: Hàm số \(y = 2{x^2} + 2x + 1\) đồng biến trên khoảng \(\left( { – \frac{1}{2}; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( { – \infty ; – \frac{1}{2}} \right).\)