Bài 6.17 trang 24 Toán 10 – Kết nối tri thức: Tìm các giá trị của tham số m để tam thức bậc hai sau dương với mọi x ∈ R: x^2 + (m + 1) x + 2m + 3

Đề bài/câu hỏi:

Tìm các giá trị của tham số m để tam thức bậc hai sau dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\):

\({x^2} + (m + 1)x + 2m + 3\)

Hướng dẫn:

Để tam thức bậc hai \(a{x^2} + bx + c > 0\)với mọi \(x \in \mathbb{R}\) thì:

a>0 và \(\Delta < 0\)

Lời giải:

Để tam thức bậc hai \({x^2} + (m + 1)x + 2m + 3 > 0\)với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Ta có: a = 1 >0 nên \(\Delta < 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {(m + 1)^2} – 4.(2m + 3) < 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 – 8m – 12 < 0\\ \Leftrightarrow {m^2} – 6m – 11 < 0\end{array}\)

Tam thức \(f(m) = {m^2} – 6m – 11\) có \(\Delta ‘ = 20 > 0\) nên f(x) có 2 nghiệm phân biệt \({m_1} = 3+\sqrt{20}; {m_2} = 3-\sqrt{20}\)

Khi đó

\( 3-2\sqrt{5} < m < 3+2\sqrt{5}\)

Vậy \( 3-2\sqrt{5} < m < 3+2\sqrt{5}\)