Bài 6.16 trang 24 Toán 10 – Kết nối tri thức: Giải các bất phương trình bậc hai: a) x^2 – 1 ≥ 0 b) x^2 – 2x – 1 < 0

Đề bài/câu hỏi:

Giải các bất phương trình bậc hai:

a) \({x^2} – 1 \ge 0\)

b) \({x^2} – 2x – 1 < 0\)

c) \( – 3{x^2} + 12x + 1 \le 0\)

d) \(5{x^2} + x + 1 \ge 0\)

Hướng dẫn:

Xét dấu tam thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c\)

Bước 1: Tính \(\Delta = {b^2} – 4ac\)

Bước 2:

– Nếu \(\Delta < 0\) thì \(f(x)\) luôn cùng dấu với a với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

– Nếu \(\Delta = 0\) thì \(f(x)\)có nghiệm kép là \({x_0}\) . Vậy \(f(x)\)cùng dấu với a với \(x \ne {x_0}\)

– Nếu \(\Delta > 0\) thì \(f(x)\)có 2 nghiệm là \({x_1};{x_2}\)\(({x_1} < {x_2})\). Ta lập bảng xét dấu.

Lời giải:

a) Tam thức \(f(x) = {x^2} – 1\) có \(\Delta = 4 > 0\)nên f(x) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1} = – 1;{x_2} = 1\)

Mặt khác a=1>0, do đó ta có bảng xét dấu:

Tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( { – \infty ; – 1} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\)

b) Tam thức \(g(x) = {x^2} – 2x – 1\) có \(\Delta = 8 > 0\) nên g(x) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1} = 1 – \sqrt 2 ;{x_2} = 1 + \sqrt 2 \)

Mặt khác a=1>0, do đó ta có bảng xét dấu:

Tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( {1 – \sqrt 2 ;1 + \sqrt 2 } \right)\)

c) Tam thức \(h(x) = – 3{x^2} + 12x + 1\) có\(\Delta ‘ = 39 > 0\)nên h(x) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1} = \frac{{6 – \sqrt {39} }}{3};{x_2} = \frac{{6 + \sqrt {39} }}{3}\)

Mặt khác a=-30 nên k(x) luôn dương ( cùng dấu với a) với mọi x, tức là \(5{x^2} + x + 1 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Suy ra bất phương trình có vô số nghiệm