Áp dụng công thức nhị thức Newton \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n – k}}{b^k}} \. Phân tích, đưa ra lời giải Giải bài 7 trang 36 SGK Toán 10 tập 2 – Chân trời sáng tạo – Bài tập cuối Chương 8. Hãy khai triển và rút gọn biểu thức…
Đề bài/câu hỏi:
Hãy khai triển và rút gọn biểu thức
\({\left( {1 + x} \right)^4} + {\left( {1 – x} \right)^4}\)
Sử dụng kết quả đó để tính gần đúng biểu thức \(1,{05^4} + 0,{95^4}\)
Hướng dẫn:
Áp dụng công thức nhị thức Newton \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n – k}}{b^k}} \)
Lời giải:
a) Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:
\(\begin{array}{l}{\left( {1 + x} \right)^4} = {1^4} + C_4^1{.1^3}x + C_4^2{.1^2}{x^2} + C_4^3.1{x^3} + C_4^4{x^4}\\ = 1 + 4x + 6{x^2} + 4{x^3} + {x^4}\end{array}\)
\(\begin{array}{l}{\left( {1 – x} \right)^4} = {1^4} + C_4^1{.1^3}\left( { – x} \right) + C_4^2{.1^2}{\left( { – x} \right)^2} + C_4^3.1{\left( { – x} \right)^3} + C_4^4{\left( { – x} \right)^4}\\ = 1 – 4x + 6{x^2} – 4{x^3} + {x^4}\end{array}\)
Suy ra
\(\begin{array}{l}{\left( {1 + x} \right)^4} + {\left( {1 – x} \right)^4} = 1 + 4x + 6{x^2} + 4{x^3} + {x^4} + 1 – 4x + 6{x^2} – 4{x^3} + {x^4}\\ = 2 + 12{x^2} + 2{x^4}\end{array}\)
Vậy \({\left( {1 + x} \right)^4} + {\left( {1 – x} \right)^4} = 2 + 12{x^2} + 2{x^4}\)
Ta có: \(1,{05^4} + 0,{95^4} = {\left( {1 + 0,05} \right)^4} + {\left( {1 – 0,05} \right)^4}\)
Áp dụng biểu thức vừa chứng minh \({\left( {1 + x} \right)^4} + {\left( {1 – x} \right)^4} = 2 + 12{x^2} + 2{x^4}\)
ta có: \(1,{05^4} + 0,{95^4} = {\left( {1 + 0,05} \right)^4} + {\left( {1 – 0,05} \right)^4} = 2 + 12.0,0{5^2} + 2.0,0{5^4}\\ = 2,0300125\)