Áp dụng các tính chất \(\overrightarrow a . \overrightarrow b = \overrightarrow b . \overrightarrow a \) (tính chất giao hoán) \(\overrightarrow c . Vận dụng kiến thức giải Giải mục II trang 95, 96 SGK Toán 10 tập 1 – Cánh diều – Bài 6. Tích vô hướng của hai vecto. Chứng minh rằng với hai vecto bất kì a, b ta có:…
Đề bài/câu hỏi:
Luyện tập – vận dụng 3 trang 96 SGK Toán 10 – Cánh Diều
Chứng minh rằng với hai vecto bất kì \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \), ta có:
\(\begin{array}{l}{(\overrightarrow a + \overrightarrow b )^2} = {\overrightarrow a ^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b + {\overrightarrow b ^2}\\{(\overrightarrow a – \overrightarrow b )^2} = {\overrightarrow a ^2} – 2\overrightarrow a .\overrightarrow b + {\overrightarrow b ^2}\\(\overrightarrow a – \overrightarrow b )(\overrightarrow a + \overrightarrow b ) = {\overrightarrow a ^2} – {\overrightarrow b ^2}\end{array}\)
Hướng dẫn:
Áp dụng các tính chất
\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \overrightarrow b .\overrightarrow a \) (tính chất giao hoán)
\(\overrightarrow c .\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = \overrightarrow c .\overrightarrow a + \overrightarrow c .\overrightarrow b \) (tính chất kết hợp)
Lời giải:
\(\begin{array}{l}{ + \, (\overrightarrow a + \overrightarrow b )^2} = (\overrightarrow a + \overrightarrow b )(\overrightarrow a + \overrightarrow b )\\ = \overrightarrow a .(\overrightarrow a + \overrightarrow b ) + \overrightarrow b .(\overrightarrow a + \overrightarrow b ) \\= {\overrightarrow a ^2} + \overrightarrow a .\overrightarrow b + \overrightarrow b .\overrightarrow a + {\overrightarrow b ^2} \\= {\overrightarrow a ^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b + {\overrightarrow b ^2}.\\ + \, {(\overrightarrow a – \overrightarrow b )^2} =(\overrightarrow a – \overrightarrow b )(\overrightarrow a – \overrightarrow b )\\ = \overrightarrow a .(\overrightarrow a – \overrightarrow b ) – \overrightarrow b .(\overrightarrow a – \overrightarrow b ) \\= {\overrightarrow a ^2} – \overrightarrow a .\overrightarrow b – \overrightarrow b .\overrightarrow a + {\overrightarrow b ^2} \\= {\overrightarrow a ^2} – 2\overrightarrow a .\overrightarrow b + {\overrightarrow b ^2}. \\ + \, (\overrightarrow a – \overrightarrow b )(\overrightarrow a + \overrightarrow b ) \\= \overrightarrow a .(\overrightarrow a – \overrightarrow b ) + \overrightarrow b .(\overrightarrow a – \overrightarrow b ) \\= {\overrightarrow a ^2} – \overrightarrow a .\overrightarrow b + \overrightarrow b .\overrightarrow a – {\overrightarrow b ^2} \\= {\overrightarrow a ^2} – {\overrightarrow b ^2}.\end{array}\)