Phân tích và giải Giải bài 6 trang 81 sách bài tập toán 10 – Chân trời sáng tạo – Bài tập cuối Chương 4. Cho tam giác ABC không vuông. Chứng minh rằng:…
Đề bài/câu hỏi:
Cho tam giác ABC không vuông. Chứng minh rằng: \(\frac{{\tan A}}{{\tan B}} = \frac{{{c^2} + {a^2} – {b^2}}}{{{c^2} + {b^2} – {a^2}}}\)
Lời giải:
Tam giác ABC không vuông nên \(\tan A,\tan B,\tan C\) xác định
Áp dụng định lý sin và định lí cosin, ta có:
\(\begin{array}{l}\tan A = \frac{{\sin A}}{{\cos A}} = \frac{a}{{2R}}:\frac{{{b^2} + {c^2} – {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{abc}}{{4R.\left( {{b^2} + {c^2} – {a^2}} \right)}}\\\tan B = \frac{{\sin B}}{{\cos B}} = \frac{b}{{2R}}:\frac{{{a^2} + {c^2} – {b^2}}}{{2ac}} = \frac{{abc}}{{4R.\left( {{c^2} + {a^2} – {b^2}} \right)}}\end{array}\)
\( \Rightarrow \frac{{\tan A}}{{\tan B}} = \frac{{abc}}{{4R.\left( {{b^2} + {c^2} – {a^2}} \right)}}:\frac{{abc}}{{4R.\left( {{a^2} + {c^2} – {b^2}} \right)}} = \frac{{{c^2} + {a^2} – {b^2}}}{{{c^2} + {b^2} – {a^2}}}\) (dpcm)