Khai triển \({\left( {a + b} \right)^5} = C_5^0{a^5} + C_5^1{a^4}{b^1} + C_5^2{a^3}{b^2} + C_5^3{a^2}{b^3} + C_5^4{b^1}{a^4} + C_5^5{a^5}\) Cho hệ số của \({x^4}\. Vận dụng kiến thức giải Giải bài 4 trang 47 sách bài tập toán 10 – Chân trời sáng tạo – Bài 3. Nhị thức newton. Hãy tìm giá trị của tham số a…
Đề bài/câu hỏi:
Biết rằng trong khai triển \({\left( {ax – 1} \right)^5}\), hệ số của \({x^4}\) gấp 4 lần hệ số của \({x^2}\). Hãy tìm giá trị của tham số a.
Hướng dẫn:
Khai triển \({\left( {a + b} \right)^5} = C_5^0{a^5} + C_5^1{a^4}{b^1} + C_5^2{a^3}{b^2} + C_5^3{a^2}{b^3} + C_5^4{b^1}{a^4} + C_5^5{a^5}\)
Cho hệ số của \({x^4}\) gấp 4 lần hệ số của \({x^2}\).
Lời giải:
Khai triển \({\left( {ax – 1} \right)^5} = C_5^0{\left( {ax} \right)^5} + C_5^1{\left( {ax} \right)^4}{\left( { – 1} \right)^1} + C_5^2{\left( {ax} \right)^3}{\left( { – 1} \right)^2} + C_5^3{\left( {ax} \right)^2}{\left( { – 1} \right)^3} + C_5^4{\left( {ax} \right)^1}{\left( { – 1} \right)^4} + C_5^5{\left( { – 1} \right)^5}\)
+ Hệ số của \({x^4}\) là: \( – 5{a^4}\)
+ Hệ số của \({x^2}\) là: \( – 10{a^2}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow – 5{a^4} = 4.\left( { – 10{a^2}} \right) \Rightarrow – 5{a^4} + 40{a^2} = 0 \Rightarrow – 5{a^2}\left( {{a^2} – 8} \right) = 0\\ \Rightarrow {a^2} = 8 \Rightarrow a = \pm 2\sqrt 2 \end{array}\)