Bài 40 trang 82 SBT toán 10 – Cánh diều: Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau: a) d_1: 2x – 3y + 5 = 0 và d_2: 2x + y – 1 = 0 b) d_3

Đề bài/câu hỏi:

Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau:

a) \({d_1}:2x – 3y + 5 = 0\) và \({d_2}:2x + y – 1 = 0\)

b) \({d_3}:\left\{ \begin{array}{l}x = – 1 – 3t\\y = 3 + t\end{array} \right.\) và \({d_4}:x + 3y – 5 = 0\)

c) \({d_5}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 – 2t\\y = – 1 + t\end{array} \right.\) và \({d_6}:\left\{ \begin{array}{l}x = – 2 + 2t’\\y = 1 – {t^’}\end{array} \right.\)

Hướng dẫn:

Bước 1: Đưa các phương trình về dạng PTTQ

Bước 2: Giải hệ 2 PT đường thẳng và xét số nghiệm của hệ để tìm vị trí tương đối của các đường thẳng

* Với ý b) có thể xét 2 VTPT của d₃ và d₄. Nếu 2 vectơ cùng phương thì lấy 1 điểm trên đường thẳng này và xét xem có thuộc đường thẳng kia hay không. Trong trường hợp không thuộc thì d₃ // d₄ và ngược lại thì d₃ trùng d₄.

* Với ý c) ta cũng có thể xét 2 VTCP của d₅ và d₆. Nếu 2 vectơ cùng phương thì lấy 1 điểm trên đường thẳng này và xét xem có thuộc đường thẳng kia hay không. Trong trường hợp không thuộc thì d₅ // d₆ và ngược lại thì d₅ trùng d₆.

Lời giải:

a) \({d_1}:2x – 3y + 5 = 0\) và \({d_2}:2x + y – 1 = 0\)

Tọa độ giao điểm của d₁ và d₂ là nghiệm của hệ PT: \(\left\{ \begin{array}{l}2x – 3y + 5 = 0\\2x + y – 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x – 3y = – 5\\2x + y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = – \frac{1}{4}\\y = \frac{3}{2}\end{array} \right.\)

Hệ trên có một nghiệm duy nhất. Vậy d₁ và d₂ cắt nhau.

b) \({d_3}:\left\{ \begin{array}{l}x = – 1 – 3t\\y = 3 + t\end{array} \right.\) và \({d_4}:x + 3y – 5 = 0\)

d₃ đi qua điểm (-1; 3) và có VTCP là \(\overrightarrow u = ( – 3;1)\) \( \Rightarrow \) d₃ có một VTPT là \(\overrightarrow {{n_1}} = (1;3)\)

\( \Rightarrow \) d₃ và d₄ có cùng VTPT nên d₃ // d₄ hoặc d₃ và d₄ trùng nhau

Thay tọa độ điểm (-1; 3) vào PT d₄ ta có: -1 + 3.3 – 5 = 3 ≠ 0 \( \Rightarrow ( – 1;3) \notin {d_4}\)

Vậy d₃ // d₄

c) \({d_5}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 – 2t\\y = – 1 + t\end{array} \right.\) và \({d_6}:\left\{ \begin{array}{l}x = – 2 + 2t’\\y = 1 – t’\end{array} \right.\)

d₅ đi qua A(2; -1), có VTCP là \(\overrightarrow {{u_1}} = ( – 2;1)\)

d₆ đi qua B(-2; 1), có VTCP là \(\overrightarrow {{u_2}} = (2; – 1)\)

Ta thấy \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương nên d₅ // d₆ hoặc d₅ và d₆ trùng nhau

Thay tọa độ điểm A vào PT d6 ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}2 = – 2 + 2t’\\ – 1 = 1 – t’\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t’ = 2\\t’ = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow t’ = 2 \Rightarrow A \in {d_6}\)

Vậy d₅ và d₆ trùng nhau