Giải Vận dụng 4 Bài 2. Hypebol (trang 53) – Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo. Hướng dẫn: Cho hypebol (H): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), \(M(x;y)\) thuộc (H).
Câu hỏi/Đề bài:
Một vật thể có quỹ đạo là một nhánh của hypebol (H), nhận tâm Mặt Trời làm tiêu điểm (Hình 6). Cho biết tâm sai của (H) bằng 1,2 và khoảng cách gần nhất giữa vật thể và tâm Mặt trời là \({2.10^8}\) km.
a) Lập phương trình chính tắc của (H)
b) Lập công thức tính bán kính qua tiêu của vị trí \(M(x;y)\) của vật thể trong mặt phẳng tọa độ.
Hướng dẫn:
Cho hypebol (H): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), \(M(x;y)\) thuộc (H).
+ Tâm sai \(e = \frac{c}{a}\)
+ Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm \(M(x;y)\) trên (H) là:
\(M{F_1} = \left| {a + \frac{c}{a}x} \right|;M{F_2} = \left| {a – \frac{c}{a}x} \right|\)
+ Khoảng cách gần nhất từ \(M(x;y)\) trên (H) đến một tiêu điểm là: \(c – a.\)
Lời giải:
a) Gọi phương trình chính tắc của (H) là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
+ Tâm sai \(e = \frac{c}{a} = 1,2\)
+ Khoảng cách gần nhất từ \(M(x;y)\) trên (H) đến một tiêu điểm là: \(c – a = {2.10^8}\)
\( \Rightarrow a = {10^9},c = {12.10^8} \Rightarrow {b^2} = {c^2} – {a^2} = {44.10^{16}}\)
\( \Rightarrow \) PTCT của (H) là \(\frac{{{x^2}}}{{{{10}^{18}}}} – \frac{{{y^2}}}{{{{44.10}^{16}}}} = 1\)
b) Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm \(M(x;y)\) trên (H) là:
\(M{F_1} = \left| {a + \frac{c}{a}x} \right| = \left| {{{10}^9} + 1,2x} \right|;M{F_2} = \left| {a – \frac{c}{a}x} \right| = \left| {{{10}^9} – 1,2x} \right|\)