Giải chi tiết Vận dụng 3 Bài 2. Hypebol (trang 53) – Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo. Gợi ý: Cho hypebol (H): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).
Câu hỏi/Đề bài:
Cho hypebol (H) có tâm sai bằng \(\sqrt 2 \). Chứng minh trục thực và trục ảo của (H) có độ dài bằng nhau
Hướng dẫn:
Cho hypebol (H): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
+ Tâm sai \(e = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{a}\)
+ Độ dài trục thực và trục ảo: \(2a\) và \(2b\)
Lời giải:
Ta có hypebol (H) có tâm sai là \(e = \sqrt 2 \)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow e = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{a} = \sqrt 2 \\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 2{a^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} = {b^2}\end{array}\)
\( \Leftrightarrow a = b\) (do \(a > 0,b > 0\))
\( \Rightarrow 2a = 2b\) hay trục thực và trục ảo của (H) có độ dài bằng nhau.