Giải Thực hành 5 Bài 1. Phương pháp quy nạp toán học (trang 30, 31) – Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo. Gợi ý: Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì.
Câu hỏi/Đề bài:
Chứng minh rằng trong mặt phẳng, n đường thẳng cùng đi qua một điểm chia mặt phẳng thành 2n phần \((n \in \mathbb{N}*)\).
Hướng dẫn:
Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải:
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Gọi I là điểm mà các đường thẳng đi qua
Bước 1: Với \(n = 1\) ta có một đường thẳng đi qua điểm I chia mặt phẳng thành 2 phần.
Như vậy mệnh đề đúng cho trường hợp \(n = 1\)
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), nghĩa là có: k đường thẳng đi qua I chia mặt phẳng thành 2k phần. Ta chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1\), tức là chứng minh k+1 đường thẳng cùng đi qua I chia mặt phẳng thành 2(k+1) phần.
Gọi đường thẳng thứ k+1 là d. Theo giả thiết quy nạp, k đường thẳng đầu tiên chia mặt phẳng thành 2k phần
Dễ thấy: Mỗi phần mặt phẳng đều là phần trong của góc có đỉnh là I và cạnh nằm trên các đường thẳng đã cho. Hơn nữa các góc tạo thành các cặp góc đối đỉnh.
Do các đường thẳng là khác nhau nên đường thẳng d phải nằm trong 1 cặp góc đối đỉnh nào đó. Nó chia 2 phần là phần trong của cặp góc này thành 4 phần.
Do đó số phần mặt phẳng được chia bởi k+1 đường thẳng là \(2k + 2 = 2(k + 1)\).
Vậy mệnh đề đúng với \(n = k + 1\).
Theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).