Lời giải Thực hành 1 Bài 1. Phương pháp quy nạp toán học (trang 26, 27, 28, 29) – Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo. Tham khảo: Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì.
Câu hỏi/Đề bài:
Chứng minh rằng đẳng thức sau đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\)
\(1 + 2 + 3 + … + n = \frac{{n(n + 1)}}{2}\)
Hướng dẫn:
Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải:
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \(1 = \frac{{1(1 + 1)}}{2}\)
Như vậy mệnh đề đúng cho trường hợp \(n = 1\)
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), nghĩa là có:
\(1 + 2 + 3 + … + k = \frac{{k(k + 1)}}{2}\)
Ta sẽ chứng minh mệnh đề cũng đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là cần chứng minh
\(1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1) = \frac{{(k + 1)(k + 2)}}{2}\)
Thật vậy ta có
\(\begin{array}{l}1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1) = \frac{{k(k + 1)}}{2} + (k + 1)\\ = \frac{{k(k + 1) + 2(k + 1)}}{2} = \frac{{(k + 1)(k + 2)}}{2}\end{array}\)
Vậy mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\)