Hoạt động Khám phá 2 Bài 2 (trang 35, 36, 37) Chuyên đề học tập Toán 10: Từ các đẳng thức như C_3^0 = C_3^3 = 1, quad C_4^1 = C_4^3 = 4, C_3^0 + C_3^1 = C_4^1, quad C_4^2 + C_4^3 = C_5^3,

Câu hỏi/Đề bài:

Từ các đẳng thức như

\(\begin{array}{l}C_3^0 = C_3^3 = 1,\quad C_4^1 = C_4^3 = 4,\\C_3^0 + C_3^1 = C_4^1,\quad C_4^2 + C_4^3 = C_5^3,\end{array}\)

Có thể dự đoán rằng, với mỗi \(n \in \mathbb{N}*\),

\(\begin{array}{l}C_n^k = C_n^{n – k}\quad \quad \quad (0 \le k \le n)\quad (2)\\C_n^{k – 1} + C_n^k = C_{n + 1}^k\quad (1 \le k \le n)\quad (3)\end{array}\)

Hãy chứng minh các công thức trên.

Gợi ý: Sử dụng công thức \(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n – k} \right)!}},n \in \mathbb{N},0 \le k \le n.\)

Lời giải:

\(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n – k} \right)!}} = \frac{{n!}}{{\left( {n – k} \right)!k!}} = \frac{{n!}}{{\left( {n – k} \right)!\left[ {n – (n – k)} \right]!}} = C_n^{n – k}\)

\(\begin{array}{l}C_n^{k – 1} + C_n^k = \frac{{n!}}{{(k – 1)!\left( {n – k + 1} \right)!}} + \frac{{n!}}{{k!\left( {n – k} \right)!}}\\ = \frac{{n!}}{{k!\left( {n + 1 – k} \right)!}}\left( {k + \left( {n + 1 – k} \right)} \right)\\ = \frac{{(n + 1)!}}{{k!\left( {n + 1 – k} \right)!}} = C_{n + 1}^k\end{array}\)