Vận dụng kiến thức giải Giải bài 3 trang 55 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo – Bài 2. Hypebol – Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo. Cho đường tròn (C) tâm ({F_1}), bán kính r và một điểm ({F_2}) thỏa mãn ({F_1}{F_2} = 4r)….
Đề bài/câu hỏi:
Cho đường tròn (C) tâm \({F_1}\), bán kính r và một điểm \({F_2}\) thỏa mãn \({F_1}{F_2} = 4r\).
a) Chứng tỏ rằng tâm của các đường tròn đi qua \({F_2}\) và tiếp xúc với \((C)\) nằm trên một đường hypebol (H).
b) Viết phương trình chính tắc và tìm tâm sai của (H).
Lời giải:
a) Xét đường tròn \((M,R)\) đi qua \({F_2}\) và tiếp xúc với \((C)\)
Ta có: \(M{F_1} = R + r;M{F_2} = R \Rightarrow M{F_1} – M{F_2} = r=2a\)
\( \Rightarrow M \in \) hypebol (H) có \(2c={F_1}{F_2} = 4r\) và \(2a = r\)
b) Ta có: \({b^2} = {a^2} – {c^2} = 4{r^2} – {\left( {\frac{r}{2}} \right)^2} = \frac{{15{r^2}}}{4}\)
Phương trình chính tắc của (H) là \(\frac{{{x^2}}}{{\frac{{{r^2}}}{4}}} – \frac{{{y^2}}}{{\frac{{15{r^2}}}{4}}} = 1\)
Tâm sai \(e = \frac{c}{a} = \frac{{2r}}{{\frac{r}{2}}} = 4\)