Hướng dẫn giải Giải bài 3 trang 32 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo – Bài 1. Phương pháp quy nạp toán học – Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo. Chứng minh rằng nếu \(x > – 1\) thì \({(1 + x)^n} \ge 1 + nx\…
Đề bài/câu hỏi:
Chứng minh rằng nếu \(x > – 1\) thì \({(1 + x)^n} \ge 1 + nx\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*\)
Lời giải:
Ta chứng minh mệnh đề bằng phương pháp quy nạp
Với \(n = 1\) ta có \({(1 + x)^1} = 1 + 1.x\)
Vậy mệnh đề đúng với \(n = 1\)
Giải sử mệnh đề đúng với \(n = k\) nghĩa là có \({(1 + x)^k} \ge 1 + kx\)
Ta chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh \({(1 + x)^{k + 1}} \ge 1 + (k + 1)x\)
Thật vậy, ta có
\({(1 + x)^{k + 1}} = (1 + x){(1 + x)^k} \ge (1 + x)(1 + kx) = 1 + (1 + k)x + k{x^2} \ge 1 + (k + 1)x\)
Do \(1 + x > 0,k{x^2} \ge 0\)
Vậy mệnh đề đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).