Giải chi tiết Luyện tập – vận dụng 3 Bài 1. Phương pháp quy nạp toán học (trang 25, 26) – Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều. Gợi ý: Chứng minh mệnh đề P(n) đúng với \(n \ge p\) thì.
Câu hỏi/Đề bài:
Chứng minh \({16^n} – 15n – 1\) chia hết cho 225 với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
Hướng dẫn:
Chứng minh mệnh đề P(n) đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Chứng tỏ mệnh đề đúng với \(n = p\)
Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà P(k) là mệnh đề đúng, ta chứng tỏ P(k+1) cũng là mệnh đề đúng.
Lời giải:
Bước 1: Khi \(n = 1\) ta có \({16^1} – 15.1 – 1 = 0\) chia hết cho 225.
Vậy mệnh đề đúng với \(n = 1\)
Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề đúng với k+1, tức là:
\({16^{k + 1}} – 15(k + 1) – 1\) chia hết cho 225.
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
\({16^k} – 15k – 1\) chia hết cho 225.
Suy ra
\(\begin{array}{l}{16^{k + 1}} – 15(k + 1) – 1 = {16.16^k} – 15k – 16\\ = 16\left( {{{16}^k} – 15k – 1} \right) + 16(15k + 1) – 15k – 16\\ = 16\left( {{{16}^k} – 15k – 1} \right) + 225k\end{array}\)
Chia hết cho 225
Vậy mệnh đề đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).