Giải chi tiết Luyện tập – vận dụng 2 Bài 1. Phương pháp quy nạp toán học (trang 25, 26) – Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều. Hướng dẫn: Chứng minh mệnh đề P(n) đúng với \(n \ge p\) thì.
Câu hỏi/Đề bài:
Chứng minh với mọi \(n \in \mathbb{N}*,{(1 + \sqrt 2 )^n},{(1 – \sqrt 2 )^n}\) lần lượt viết được ở dạng \({a_n} + {b_n}\sqrt 2 ,{a_n} – {b_n}\sqrt 2 ,\) trong đó \({a_n},{b_n}\) là các số nguyên dương.
Hướng dẫn:
Chứng minh mệnh đề P(n) đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Chứng tỏ mệnh đề đúng với \(n = p\)
Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà P(k) là mệnh đề đúng, ta chứng tỏ P(k+1) cũng là mệnh đề đúng.
Lời giải:
Bước 1: Khi \(n = 1\) ta có \({\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^1} = 1 + \sqrt 2 ;{\left( {1 – \sqrt 2 } \right)^1} = 1 – \sqrt 2 \) có dạng \({a_1} + {b_1}\sqrt 2 ,{a_1} – {b_1}\sqrt 2 \) với \({a_1} = 1;{b_1} = 1\) là các số nguyên dương
Vậy mệnh đề đúng với \(n = 1\)
Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề đúng với k+1, tức là:
\({\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^{k + 1}};{\left( {1 – \sqrt 2 } \right)^{k + 1}}\) có dạng \({a_{k + 1}} + {b_{k + 1}}\sqrt 2 ;{a_{k + 1}} – {b_{k + 1}}\sqrt 2 \) với \({a_{k + 1}};{b_{k + 1}}\) là các số nguyên dương.
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
\({\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^k} = {a_k} + {b_k}\sqrt 2 ;{\left( {1 – \sqrt 2 } \right)^k} = {a_k} – {b_k}\sqrt 2 \) với \({a_k};{b_k}\) là các số nguyên dương.
Suy ra
\(\begin{array}{l}{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^{k + 1}} = {\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^k}\left( {1 + \sqrt 2 } \right)\\ = \left( {{a_k} + {b_k}\sqrt 2 } \right)\left( {1 + \sqrt 2 } \right) = {a_k} + {b_k}\sqrt 2 + {a_k}\sqrt 2 + {b_k}{\left( {\sqrt 2 } \right)^2}\\ = \left( {{a_k} + 2{b_k}} \right) + \left( {{a_k} + {b_k}} \right)\sqrt 2 \\ = {a_{k + 1}} + {b_{k + 1}}\sqrt 2 \end{array}\)
Trong đó \({a_{k + 1}} = {a_k} + 2{b_k} \in \mathbb{N}*;{b_{k + 1}} = {a_k} + {b_k} \in \mathbb{N}*\)
Vậy mệnh đề đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).