Đáp án Luyện tập 2 Bài 2. Nhị thức Newton (trang 35, 36) – Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều. Tham khảo: Công thức nhị thức Newton: \({(ax + b)^n} = C_n^0{(ax)^n} + C_n^1{(ax)^{n – 1}}b + . .
Câu hỏi/Đề bài:
Xét khai triển của \({(x + 5)^{15}}\)
a) Nêu số hạng chứa \({x^7}\) từ đó nêu hệ số của \({x^7}\)
b) Nêu số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức trên, từ đó nêu hệ số \({a_k}\) của \({x^k}\) với \(0 \le k \le 15\)
Hướng dẫn:
Công thức nhị thức Newton: \({(ax + b)^n} = C_n^0{(ax)^n} + C_n^1{(ax)^{n – 1}}b + … + C_n^{n – 1}(ax){b^{n – 1}} + C_n^n{b^n}\)
Hệ số của \({x^k}\) trong khai triển trên là \(C_n^{n – k}{a^k}{b^{n – k}}\)
Lời giải:
Ta có: \({(x + 5)^{15}} = {C_1}^0{x^{15}} + {C_1}^1{x^{14}}5 + … + {C_1}^{14}x{.5^{14}} + {C_1}^{15}{5^{15}} = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k{x^{15 – k}}{5^k}} \)
a) Số hạng chứa \({x^7}\), tức là \(15 – k = 7\) hay \(k = 8\) là \(C_{15}^8.{x^7}{.5^8}\). Hệ số của \({x^7}\) là \(C_{15}^8{.5^8}\)
b) Số hạng chứa \({x^{15}}\) là \(C_{15}^0{x^{15}} = {x^{15}}\). Hệ số của \({x^{15}}\) là \(1\).
Số hạng tự do là: \(C_{15}^{15}{5^{15}} = {5^{15}}\)
Số hạng chứa \({x^k}(1 \le k \le 14)\) là \(C_{15}^{15 – k}{x^k}{5^{15 – k}} = C_{15}^{15 – k}{5^{15 – k}}{x^k}\). Hệ số của \({x^k}\) là \(C_{15}^{15 – k}{5^{15 – k}}\)