Trang chủ Lớp 10 Toán lớp 10 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều Hoạt động Bài 1 (trang 23, 24, 25) Chuyên đề học tập...

Hoạt động Bài 1 (trang 23, 24, 25) Chuyên đề học tập Toán 10: Xét mệnh đề chứa biến P(n): “1 + 3 + 5 + . . . + (2n – 1) = n^2” với n là số nguyên dương

Giải chi tiết Hoạt động Bài 1. Phương pháp quy nạp toán học (trang 23, 24, 25) – Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều.

Câu hỏi/Đề bài:

Xét mệnh đề chứa biến P(n): “\(1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = {n^2}\)” với n là số nguyên dương.

a) Chứng tỏ rằng P(1) là mệnh đề đúng.

b) Với k là một số nguyên dương tùy ý mà P(k) là mệnh đề đúng, cho biết \(1 + 3 + 5 + … + (2k – 1)\) bằng bao nhiêu.

c) Với k là một số nguyên dương tùy ý mà P(k) là mệnh đề đúng, chứng tỏ rằng P(k+1) cũng là mệnh đề đúng bằng cách chỉ ra \({k^2} + [2(k + 1) – 1] = {(k + 1)^2}\).

Lời giải:

a) Mệnh đề P(1) là: “\(1 = {1^2}\)”, rõ ràng mệnh đề này đúng.

b) Mệnh đề P(k) là: “\(1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) = {k^2}\)”

Mệnh đề P(k) đúng thì \(1 + 3 + 5 + … + (2k – 1)\) bằng \({k^2}\)

c) Mệnh đề P(k+1) là: “\(1 + 3 + 5 + … + [2(k + 1) – 1] = {(k + 1)^2}\)”

Mệnh đề P(k) đúng nên ta có \(1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) = {k^2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 1 + 3 + 5 + … + [2(k + 1) – 1] = 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + [2(k + 1) – 1]\\ = {k^2} + [2(k + 1) – 1] = {k^2} + 2k + 1 = {(k + 1)^2}\end{array}\)

Vậy mệnh đề P(k+1) cũng đúng.