Giải chi tiết Hoạt động Bài 1. Phương pháp quy nạp toán học (trang 23, 24, 25) – Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều.
Câu hỏi/Đề bài:
Xét mệnh đề chứa biến P(n): “\(1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = {n^2}\)” với n là số nguyên dương.
a) Chứng tỏ rằng P(1) là mệnh đề đúng.
b) Với k là một số nguyên dương tùy ý mà P(k) là mệnh đề đúng, cho biết \(1 + 3 + 5 + … + (2k – 1)\) bằng bao nhiêu.
c) Với k là một số nguyên dương tùy ý mà P(k) là mệnh đề đúng, chứng tỏ rằng P(k+1) cũng là mệnh đề đúng bằng cách chỉ ra \({k^2} + [2(k + 1) – 1] = {(k + 1)^2}\).
Lời giải:
a) Mệnh đề P(1) là: “\(1 = {1^2}\)”, rõ ràng mệnh đề này đúng.
b) Mệnh đề P(k) là: “\(1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) = {k^2}\)”
Mệnh đề P(k) đúng thì \(1 + 3 + 5 + … + (2k – 1)\) bằng \({k^2}\)
c) Mệnh đề P(k+1) là: “\(1 + 3 + 5 + … + [2(k + 1) – 1] = {(k + 1)^2}\)”
Mệnh đề P(k) đúng nên ta có \(1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) = {k^2}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 1 + 3 + 5 + … + [2(k + 1) – 1] = 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + [2(k + 1) – 1]\\ = {k^2} + [2(k + 1) – 1] = {k^2} + 2k + 1 = {(k + 1)^2}\end{array}\)
Vậy mệnh đề P(k+1) cũng đúng.