Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì: Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\) Bước 2. Giải và trình bày phương pháp giải Giải bài 5 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều – Bài 1. Phương pháp quy nạp toán học – Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều. Chứng minh với mọi \(n \in \mathbb{N}*\), ta có:…
Đề bài/câu hỏi:
Chứng minh với mọi \(n \in \mathbb{N}*\), ta có:
a) \({13^n} – 1\) chia hết cho 6.
b) \({4^n} + 15n – 1\) chia hết cho 9.
Hướng dẫn:
Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải:
a)
Bước 1: Khi \(n = 1\) ta có \({13^1} – 1 = 12\) chia hết cho 6.
Vậy mệnh đề đúng với \(n = 1\)
Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề đúng với k+1, tức là:
\({13^{k + 1}} – 1\) chia hết cho 6.
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
\({13^k} – 1\) chia hết cho 6.
Suy ra
\({13^{k + 1}} – 1 = {13.13^k} – 1 = 13.\left( {{{13}^k} – 1} \right) + 12\) chia hết cho 6
Vậy mệnh đề đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
b)
Bước 1: Khi \(n = 1\) ta có \({4^1} + 15.1 – 1 = 18\) chia hết cho 9.
Vậy mệnh đề đúng với \(n = 1\)
Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề đúng với k+1, tức là:
\({4^{k + 1}} + 15.(k + 1) – 1\) chia hết cho 9.
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
\({4^k} + 15k – 1\) chia hết cho 9.
Suy ra
\({4^{k + 1}} + 15.(k + 1) – 1 = {4.4^k} + 15k + 14 = 4\left( {{4^k} + 15k – 1} \right) – 45k + 18\) chia hết cho 9
Vậy mệnh đề đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).