Bài 4 trang 56 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol (H): x^2/64 – y^2/36 = 1. Lập phương trình chính tắc của hypebol (E)

Đề bài/câu hỏi:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol (H): \(\frac{{{x^2}}}{{64}} – \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\). Lập phương trình chính tắc của hypebol (E), biết rằng (E) có các tiêu điểm là tiêu điểm của (H) và các đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của (H) cũng nằm trên (E)

Hướng dẫn:

Phương trình của hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) trong đó \(a > 0,b > 0\). Khi đó ta có:

+ Tiêu điểm \({F_1}( – c;0),{F_2}(c;0)\)

+ Hình chữ nhật cơ sở có 4 đỉnh \(P\left( { – a;b} \right),Q\left( {a;b} \right),R\left( {a; – b} \right),S – \left( {a;b} \right).\)

Cho hypebol (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) \((0 < b < a)\)

+ Tiêu điểm \({F_1}( – c;0),{F_2}(c;0)\)

+ 4 đỉnh là \({A_1}\left( { – a;0} \right),{A_2}\left( {a;0} \right),{B_1}\left( {0; – b} \right),{B_2}\left( {0;b} \right).\)

Lời giải:

Hypebol (H) có \(a = 8,b = 6 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 10\) nên ta có một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là \(M\left( {8;6} \right)\)

Phương trình hypebol (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) \((0 < b < a)\)

+ Ta có: (E) có các tiêu điểm là tiêu điểm của (H) nên \(c = 10 \Rightarrow {a^2} – {b^2} = {c^2} = 100\)

+ Các đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của (H) cũng nằm trên (E) \( \Rightarrow M\left( {8;6} \right) \in \left( E \right) \Rightarrow \frac{{{8^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{6^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Ta có: \({a^2} – {b^2} = 100 \Rightarrow {a^2} = {b^2} + 100\)\( \Rightarrow \frac{{{8^2}}}{{{b^2} + 100}} + \frac{{{6^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Rightarrow 64{b^2} + 36\left( {{b^2} + 100} \right) = {b^4} + 100{b^2}\)

\( \Rightarrow {b^4} = 36.100 \Rightarrow {b^2} = 6.10 = 60 \Rightarrow {a^2} = 60 + 100 = 160\)

Khi đó phương trình chính tắc của hypebol là: \(\frac{{{x^2}}}{{160}} + \frac{{{y^2}}}{{60}} = 1\)