Bài 4 trang 37 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều: Xác định hệ số của: a) x^12 trong khai triển của biểu thức (x + 4) ^30 b) x^10 trong khai triển của biểu thức (3 + 2x) ^30 c) x^15

Đề bài/câu hỏi:

Xác định hệ số của:

a) \({x^{12}}\) trong khai triển của biểu thức \({(x + 4)^{30}}\)

b) \({x^{10}}\) trong khai triển của biểu thức \({(3 + 2x)^{30}}\)

c) \({x^{15}}\) và \({x^{16}}\) trong khai triển của biểu thức \({\left( {\frac{{2x}}{3} – \frac{1}{7}} \right)^{51}}\)

Hướng dẫn:

Công thức nhị thức Newton: \({(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n – 1}}b + … + C_n^{n – 1}a{b^{n – 1}} + C_n^n{b^n}\)

Lời giải:

a) Theo công thức nhị thức Newton, ta có:

\({(x + 4)^{30}} = C_{30}^0{x^{30}} + C_{30}^1{x^{29}}{4^1} + … + C_{30}^k{x^{30 – k}}{4^k} + … + C_{30}^{30}{4^{30}}\)

Số hạng chứa \({x^{12}}\) ứng với \(30 – k = 12 \Rightarrow k = 18\). Do đó hệ số của \({x^{12}}\) là

\(C_{30}^{18}{4^{18}}\)

b) Theo công thức nhị thức Newton, ta có:

\({(3 + 2x)^{30}} = C_{30}^0{3^{30}} + C_{30}^1{3^{29}}{\left( {2x} \right)^1} + … + C_{30}^k{3^{30 – k}}{\left( {2x} \right)^k} + … + C_{30}^{30}{\left( {2x} \right)^{30}}\)

Số hạng chứa \({x^{10}}\) ứng với \(k = 10\). Do đó hệ số của \({x^{10}}\) là

\(C_{30}^{10}{3^{20}}{2^{10}}\)

c) Theo công thức nhị thức Newton, ta có:

\({\left( {\frac{{2x}}{3} – \frac{1}{7}} \right)^{51}} = C_{51}^0{\left( {\frac{{2x}}{3}} \right)^{51}} + C_{51}^1{\left( {\frac{{2x}}{3}} \right)^{50}}{\left( { – \frac{1}{7}} \right)^1} + … + C_{51}^k{\left( {\frac{{2x}}{3}} \right)^{51 – k}}{\left( { – \frac{1}{7}} \right)^k} + … + C_{51}^{51}{\left( { – \frac{1}{7}} \right)^{51}}\)

Số hạng chứa \({x^{15}}\) ứng với \(51 – k = 15 \Leftrightarrow k = 36\). Do đó hệ số của \({x^{15}}\) là

\(C_{51}^{15}{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{15}}{\left( { – \frac{1}{7}} \right)^{36}}\)

Số hạng chứa \({x^{16}}\) ứng với \(51 – k = 16 \Leftrightarrow k = 35\). Do đó hệ số của \({x^{16}}\) là

\(C_{51}^{16}{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{16}}{\left( { – \frac{1}{7}} \right)^{35}}\)