Bài 2 trang 48 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều: Tìm tâm sai của elip (E) trong mỗi trường hợp sau

Đề bài/câu hỏi:

Tìm tâm sai của elip (E) trong mỗi trường hợp sau:

a) Độ dài bán trục lớn gấp hai lần độ dài bán trục bé

b) Khoảng cách từ một đỉnh trên trục lớn đến một đỉnh trên trục bé bằng tiêu cự

Hướng dẫn:

Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) \((0 < b < a)\)

+ Độ dài bán trục lớn: \(a\), độ dài bán trục bé: \(b\)

+ Tiêu cự \(2c\) với \(c = \sqrt {{a^2} – {b^2}} \)

+ 4 đỉnh là \({A_1}\left( { – a;0} \right),{A_2}\left( {a;0} \right),{B_1}\left( {0; – b} \right),{B_2}\left( {0;b} \right).\)

+ Tâm sai \(e = \frac{c}{a}\)

Lời giải:

a) Ta có: Độ dài bán trục lớn gấp hai lần độ dài bán trục bé hay \(a = 2b \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} – {b^2}} = \sqrt {{a^2} – {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{3}{4}{a^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Tâm sai của elip là \(e = \frac{c}{a} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{a} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

b) Giả sử elip có 1 đỉnh trên trục lớn là \(A\left( {a;0} \right)\left( {a > 0} \right)\) và một đỉnh trên trục bé là \(B\left( {0;b} \right)\left( {b > 0} \right)\)

Theo đề bài ta có: \(AB = 2c = 2\sqrt {{a^2} – {b^2}} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt {{{\left( {0 – a} \right)}^2} – {{\left( {b – 0} \right)}^2}} = 2\sqrt {{a^2} – {b^2}} \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 4\left( {{a^2} – {b^2}} \right)\\ \Rightarrow 3{a^2} = 5{b^2} \Rightarrow {b^2} = \frac{3}{5}{a^2} \Rightarrow {c^2} = {a^2} – {b^2} = {a^2} – \frac{3}{5}{a^2} = \frac{2}{5}{a^2}\\ \Rightarrow \frac{{{c^2}}}{{{a^2}}} = \frac{2}{5} \Rightarrow e = \frac{c}{a} = \sqrt {\frac{2}{5}} = \frac{{\sqrt {10} }}{5}\end{array}\)

Vậy elip có tâm sai bằng \(\frac{{\sqrt {10} }}{5}\)