Bài 1 trang 48 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều: Viết phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau: a) Độ dài trục lớn bằng 6 và tiêu điểm là F_1 – 2;0

Đề bài/câu hỏi:

Viết phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau:

a) Độ dài trục lớn bằng 6 và tiêu điểm là \({F_1}\left( { – 2;0} \right)\)

b) Tiêu cự bằng 12 và tâm sai bằng \(\frac{3}{5}\)

c) Tâm sai bằng \(\frac{{\sqrt 5 }}{3}\) và chu vi hình chữ nhật cơ sở của (E) bằng 20

Hướng dẫn:

Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) \((0 < b < a)\)

+ Độ dài trục lớn: \(2a\), độ dài trục nhỏ: \(2b\)

+ Tiêu điểm \({F_1}( – c;0),{F_2}(c;0)\)

+ Tiêu cự: \(2c = 2\sqrt {{a^2} – {b^2}} \)

+ Tâm sai của elip: \(e = \frac{c}{a}\) với \(c = \sqrt {{a^2} – {b^2}} \).

+ Kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 2a và 2b

Lời giải:

a) Ta có: Độ dài trục lớn \(2a = 6 \Rightarrow a = 3\) và tiêu điểm là \({F_1}\left( { – 2;0} \right)\) nên \(c = 2 \Rightarrow b = \sqrt {{a^2} – {c^2}} = \sqrt {{3^2} – {2^2}} = \sqrt 5 \)

Vậy elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{5} = 1\)

b) Ta có: Tiêu cự \(2c = 12 \Rightarrow c = 6\)

Tâm sai bằng \(e = \frac{c}{a} = \frac{6}{a} = \frac{3}{5} \Rightarrow a = 10\)

\( \Rightarrow b = \sqrt {{a^2} – {c^2}} = \sqrt {{{10}^2} – {6^2}} = 8\)

Vậy elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\)

c) Tâm sai bằng \(e = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt 5 }}{3} \Rightarrow \frac{{\sqrt {{a^2} – {b^2}} }}{a} = \frac{{\sqrt 5 }}{3} \Rightarrow \frac{{{a^2} – {b^2}}}{{{a^2}}} = \frac{5}{9}\)

\( \Rightarrow 9{a^2} – 9{b^2} = 5{a^2} \Rightarrow 4{a^2} = 9{b^2} \Rightarrow 2a = 3b\)

Với chu vi hình chữ nhật cơ sở của (E) bằng 20 nên \(2\left( {2a + 2b} \right) = 20 \Rightarrow a + b = 5\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a = 3b\\a + b = 5\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 2\end{array} \right.\)

Vậy elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\)