Khi rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, ta cần phối hợp các phép tính (cộng, trừ, nhân. Hướng dẫn giải Giải bài 10 trang 70 vở thực hành Toán 9 – Bài tập cuối Chương 3. Cho biểu thức: (A = frac{2}{{sqrt x }} – frac{{10 – 8sqrt x }}{{x + 5sqrt x }} + frac{{sqrt…
Đề bài/câu hỏi:
Cho biểu thức: \(A = \frac{2}{{\sqrt x }} – \frac{{10 – 8\sqrt x }}{{x + 5\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 5}}\) với \(x > 0\).
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Chứng tỏ rằng giá trị của biểu thức A nhỏ hơn 2.
Hướng dẫn:
a) Khi rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, ta cần phối hợp các phép tính (cộng, trừ, nhân, chia) và các phép biến đổi đã học (đưa thừa số ra ngoài hoặc vào trong dấu căn; khử mẫu của biểu thức lấy căn, trục căn thức ở mẫu).
b) Chứng minh rằng \(A – 2 0\). Suy ra giá trị của biểu thức A nhỏ hơn 2.
Lời giải:
a) Sử dụng tính chất giao hoán và tính chất kết hợp của phép cộng ta có:
\(A = \left( {\frac{2}{{\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 5}}} \right) – \frac{{10 – 8\sqrt x }}{{x + 5\sqrt x }}\)
\( = \frac{{2\left( {\sqrt x + 5} \right) + \sqrt x .\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 5} \right)}} – \frac{{10 – 8\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 5} \right)}}\)
\( = \frac{{2\sqrt x + 10 + x – 10 + 8\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 5} \right)}} = \frac{{10\sqrt x + x}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 5} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 10}}{{\sqrt x + 5}}\)
b) Xét hiệu \(A – 2 = \frac{{\sqrt x + 10}}{{\sqrt x + 5}} – 2 = \frac{{\sqrt x + 10 – 2\sqrt x – 10}}{{\sqrt x + 5}} = \frac{{ – \sqrt x }}{{\sqrt x + 5}}\)
Với \(x > 0\) thì \(A – 2 = \frac{{ – \sqrt x }}{{\sqrt x + 5}} 0\) nên giá trị của biểu thức A nhỏ hơn 2 với \(x > 0\).