Lời giải Câu hỏi Luyện tập 2 trang 23 SGK Toán 9 Kết nối tri thức – Bài 3. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình. Gợi ý: Cần quan tâm các các dữ liệu về các đại lượng sau (thời gian.
Câu hỏi/Đề bài:
Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì bể sẽ đầy trong 1 giờ 20 phút. Nếu mở riêng vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì chỉ được \(\frac{2}{{15}}\) bể nước. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể nước là bao nhiêu phút?
Hướng dẫn:
Cần quan tâm các các dữ liệu về các đại lượng sau (thời gian, năng suất vòi nước (lượng nước chảy được trong mỗi giờ), số phần thể tích bể nước thay đổi theo từng dữ kiện.
Tính năng suất trong một giờ mỗi vòi chảy được mấy phần của bể nước.
Tính năng suất trong một giờ cả hai vòi cùng chảy được bao nhiêu phần của bể nước.
Chú ý: Năng suất của vòi nước = 1 : Thời gian chảy
Lời giải:
Gọi thời gian chảy đầy bể của vòi thứ nhất và vòi thứ hai lần lượt là \(x;y\) (giờ) \(\left( {x,y > 0} \right).\)
Một giờ vòi thứ nhất chảy được \(\frac{1}{x}\) (bể).
Một giờ vòi thứ hai chảy được \(\frac{1}{y}\) (bể).
Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì bể sẽ đầy trong 1 giờ 20 phút (1 giờ 20 phút \( = \frac{4}{3}\) giờ) nên 1 giờ cả hai vòi chảy được \(1:\frac{4}{3} = \frac{3}{4}\) (bể).
Nên ta có phương trình \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4}.\left( 1 \right)\)
Mở riêng vòi thứ nhất trong 10 phút (10 phút \( = \frac{1}{6}\) giờ) thì vòi thứ nhất chảy được \(\frac{1}{6}.\frac{1}{x} = \frac{1}{{6x}}\) (bể).
Mở riêng vòi thứ hai trong 12 phút (12 phút \( = \frac{1}{5}\) giờ) thì vòi thứ hai chảy được \(\frac{1}{5}.\frac{1}{y} = \frac{1}{{5y}}\) (bể).
Thì hai vòi chảy được \(\frac{2}{{15}}\) bể nước.
Nên ta có phương trình \(\frac{1}{{6x}} + \frac{1}{{5y}} = \frac{2}{{15}}.\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4}\\\frac{1}{{6x}} + \frac{1}{{5y}} = \frac{2}{{15}}\end{array} \right.\)
Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với \(\frac{1}{5}\) ta được \(\frac{1}{{5x}} + \frac{1}{{5y}} = \frac{3}{{20}}\), từ đó ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{5x}} + \frac{1}{{5y}} = \frac{3}{{20}}\\\frac{1}{{6x}} + \frac{1}{{5y}} = \frac{2}{{15}}\end{array} \right.\)
Trừ từng vế của hai phương trình ta được \(\left( {\frac{1}{{5x}} + \frac{1}{{5y}}} \right) – \left( {\frac{1}{{6x}} + \frac{1}{{5y}}} \right) = \frac{3}{{20}} – \frac{2}{{15}}\) suy ra \(\frac{1}{{30x}} = \frac{1}{{60}}\) nên \(x = 2\left( {t/m} \right).\)
Với \(x = 2\) thay vào phương trình (1) ta được \(\frac{1}{2} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4}\) nên \(y = 4\left( {t/m} \right).\)
Đổi 2 giờ = 120 phút; 4 giờ = 240 phút
Vậy vòi thứ nhất chảy riêng cần 120 phút thì đầy bể, vòi thứ hai cần 240 phút thì đầy bể.