Giải chi tiết Câu hỏi Hoạt động 3 trang 8 SGK Toán 9 Chân trời sáng tạo – Bài 1. Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn. Gợi ý: Đối với phương trình chứa ẩn ở mẫu.
Câu hỏi/Đề bài:
Cho phương trình \(\frac{x}{{x – 2}} = \frac{1}{{x + 1}} + 1\).
a) Tìm điều kiện xác định của phương trình đã cho.
b) Xét các phép biến đổi như sau:
\(\begin{array}{l}\frac{x}{{x – 2}} = \frac{1}{{x + 1}} + 1\\\frac{x}{{x – 2}} = \frac{{x + 2}}{{x + 1}}\end{array}\)
\(\frac{{x(x + 1)}}{{(x – 2)(x + 1)}} = \frac{{(x + 2)(x – 2)}}{{(x + 1)(x – 2)}}\)
\({x^2} + x = {x^2} – 4\)
\(x = – 4\)
Hãy giải thích cách thực hiện mỗi phép biến đổi trên.
c) \(x = – 4\) có là nghiệm của phương trình đã cho không?
Hướng dẫn:
– Đối với phương trình chứa ẩn ở mẫu, để tìm điều kiện xác định của phương trình ta tìm điều kiện của ẩn để tất cả các mẫu thức trong phương trình đều khác 0.
– Quy đồng mẫu thức hai vế của phương trình.
– Thay \(x = – 4\) vào phương trình để kiểm tra có phải là nghiệm hay không.
Lời giải:
a) Điều kiện xác định: \(x – 2 \ne 0\) và \(x + 1 \ne 0\)
khi \(x \ne 2\) và \(x \ne – 1\).
Vậy điều kiện xác định của phương trình là \(x \ne 2\) và \(x \ne – 1\).
b) \(\frac{x}{{x – 2}} = \frac{1}{{x + 1}} + 1\)
Quy đồng vế phải với mẫu thức chung là \(x + 1\): \(\frac{x}{{x – 2}} = \frac{{x + 2}}{{x + 1}}\)
Quy đồng cả hai vế với mẫu thức chung là \((x – 2)(x + 1)\): \(\frac{{x(x + 1)}}{{(x – 2)(x + 1)}} = \frac{{(x + 2)(x – 2)}}{{(x + 1)(x – 2)}}\)
Hai phân thức bằng nhau có cùng mẫu thì tử bằng nhau.\({x^2} + x = {x^2} – 4\)
Giải phương trình ta được \(x = – 4\)
c) Thay \(x = – 4\) vào phương trình, ta được:
\(\begin{array}{l}\frac{{ – 4}}{{( – 4) – 2}} = \frac{1}{{( – 4) + 1}} + 1\\\frac{{ – 4}}{{ – 6}} = \frac{1}{{ – 3}} + 1\\\frac{2}{3} = \frac{2}{3}\\\frac{2}{3} – \frac{2}{3} = 0\\0 = 0\end{array}\)
Điều này luôn đúng nên \(x = – 4\) là nghiệm của phương trình đã cho.
Vậy \(x = – 4\) là nghiệm của phương trình đã cho.