Quy đồng mẫu thức các phân thức. b) Thay \(x = 3 – 2\sqrt 2 = {\left( {\sqrt 2 – 1} \right)^2}\. Trả lời Giải bài 49 trang 69 sách bài tập toán 9 – Cánh diều tập 1 – Bài tập cuối Chương 3. Cho biểu thức \(B = \frac{{x – 2}}{{x + 2\sqrt x }} – \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x +…
Đề bài/câu hỏi:
Cho biểu thức \(B = \frac{{x – 2}}{{x + 2\sqrt x }} – \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x + 2}}\) với \(x > 0\).
a) Rút gọn biểu thức B.
b) Tính giá trị biểu thức B tại \(x = 3 – 2\sqrt 2 .\)
c) Tìm giá trị của \(x \in N*\) để B nguyên.
Hướng dẫn:
a) Quy đồng mẫu thức các phân thức.
b) Thay \(x = 3 – 2\sqrt 2 = {\left( {\sqrt 2 – 1} \right)^2}\) vào biểu thức vừa rút gọn.
c) Biến đổi \(B = \frac{{\sqrt x – 2}}{{\sqrt x }} = 1 – \frac{2}{{\sqrt x }}\), khi đó \(\sqrt x \) là ước của 2.
Lời giải:
a) Với \(x > 0\), ta có:
\(\begin{array}{l}B = \frac{{x – 2}}{{x + 2\sqrt x }} – \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x + 2}} \\= \frac{{x – 2}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}} – \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\ = \frac{{x – 2 – \sqrt x – 2 + \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}} = \frac{{x – 4}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}} \\= \frac{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x – 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x – 2}}{{\sqrt x }}\end{array}\)
Vậy \(B = \frac{{\sqrt x – 2}}{{\sqrt x }}\).
b) Thay \(x = 3 – 2\sqrt 2 = {\left( {\sqrt 2 – 1} \right)^2}\) (thỏa mãn điều kiện) vào B, ta được:
\(B = \frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 2 – 1} \right)}^2}} – 2}}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 2 – 1} \right)}^2}} }} \\= \frac{{\left| {\sqrt 2 – 1} \right| – 2}}{{\left| {\sqrt 2 – 1} \right|}} = \frac{{\sqrt 2 – 1 – 2}}{{\sqrt 2 – 1}} = \frac{{\sqrt 2 – 3}}{{\sqrt 2 – 1}} \\= \frac{{\left( {\sqrt 2 – 3} \right)\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 2 – 1} \right)\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}} = – 1 – 2\sqrt 2 \)
Vậy \(B = – 1 – 2\sqrt 2 \) với \(x = 3 – 2\sqrt 2 \).
c) \(B = \frac{{\sqrt x – 2}}{{\sqrt x }} = 1 – \frac{2}{{\sqrt x }}\)
Với \(x > 0\), để B nguyên thì \(\frac{2}{{\sqrt x }}\) nguyên, khi đó \(\sqrt x \) là ước của 2, mà \(\sqrt x > 0\) nên \(\sqrt x \in \left\{ {1;2} \right\}\).
Với \(\sqrt x = 1\) suy ra \(x = 1\); Với \(\sqrt x = 2\) suy ra \(x = 4\)
Mà \(x \in N*\) và kết hợp với điều kiện xác định. Vậy \(x = 1\),\(x = 4\) là các giá trị cần tìm.