Rút gọn biểu thức A: Trục căn thức ở mỗi phân thức. Hướng dẫn giải Giải bài 36 trang 66 sách bài tập toán 9 – Cánh diều tập 1 – Bài 4. Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số. Cho biểu thức \(A = \frac{1}{{3 – \sqrt 8 }} – \frac{1}{{\sqrt 8 – \sqrt 7 }} + \frac{1}{{\sqrt 7…
Đề bài/câu hỏi:
a) Cho biểu thức \(A = \frac{1}{{3 – \sqrt 8 }} – \frac{1}{{\sqrt 8 – \sqrt 7 }} + \frac{1}{{\sqrt 7 – \sqrt 6 }} – \frac{1}{{\sqrt 6 – \sqrt 5 }} + \frac{1}{{\sqrt 5 – 2}}\)
Chứng minh rằng \(A = 5\).
b) Cho biểu thức \(B = \frac{1}{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } }} + \frac{1}{{\sqrt {2 – \sqrt 3 } }}\). Chứng minh rằng \(B = \sqrt 6 \).
Hướng dẫn:
a) Rút gọn biểu thức A: Trục căn thức ở mỗi phân thức.
b) Nhân cả 2 phân thức của biểu thưc B với \(\sqrt 2 \) để tạo hằng đẳng thức dưới mẫu.
Tiếp tục trục căn thức mỗi phân thức.
Lời giải:
a) \(A = \frac{1}{{3 – \sqrt 8 }} – \frac{1}{{\sqrt 8 – \sqrt 7 }} + \frac{1}{{\sqrt 7 – \sqrt 6 }} – \frac{1}{{\sqrt 6 – \sqrt 5 }} + \frac{1}{{\sqrt 5 – 2}}\)\(\begin{array}{l} = \frac{{3 + \sqrt 8 }}{{\left( {3 – \sqrt 8 } \right)\left( {3 – \sqrt 8 } \right)}} – \frac{{\sqrt 8 + \sqrt 7 }}{{\left( {\sqrt 8 – \sqrt 7 } \right)\left( {\sqrt 8 + \sqrt 7 } \right)}} + \frac{{\sqrt 7 + \sqrt 6 }}{{\left( {\sqrt 7 – \sqrt 6 } \right)\left( {\sqrt 7 + \sqrt 6 } \right)}}\\ – \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 5 }}{{\left( {\sqrt 6 – \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 6 + \sqrt 5 } \right)}} + \frac{{\sqrt 5 + 2}}{{\left( {\sqrt 5 – 2} \right)\left( {\sqrt 5 + 2} \right)}}\\ = \frac{{3 + \sqrt 8 }}{{9 – 8}} – \frac{{\sqrt 8 + \sqrt 7 }}{{8 – 7}} + \frac{{\sqrt 7 + \sqrt 6 }}{{7 – 6}} – \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 5 }}{{6 – 5}} + \frac{{\sqrt 5 + 2}}{{5 – 4}}\\ = 3 + \sqrt 8 – \sqrt 8 – \sqrt 7 + \sqrt 7 + \sqrt 6 – \sqrt 6 – \sqrt 5 + \sqrt 5 + 2\\ = 5\end{array}\)
Vậy \(A = 5\).
b) \(B = \frac{1}{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } }} + \frac{1}{{\sqrt {2 – \sqrt 3 } }}\)
\(\begin{array}{l} = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt {4 + 2\sqrt 3 } }} + \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt {4 – 2\sqrt 3 } }}\\ = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt {{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}^2}} }} + \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt {{{\left( {1 – \sqrt 3 } \right)}^2}} }}\\ = \frac{{\sqrt 2 }}{{\left| {1 + \sqrt 3 } \right|}} + \frac{{\sqrt 2 }}{{\left| {1 – \sqrt 3 } \right|}}\\ = \frac{{\sqrt 2 }}{{1 + \sqrt 3 }} + \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 – 1}}\\ = \frac{{\sqrt 2 \left( {\sqrt 3 – 1} \right)}}{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 3 – 1} \right)}} + \frac{{\sqrt 2 \left( {1 + \sqrt 3 } \right)}}{{\left( {\sqrt 3 – 1} \right)\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}}\\ = \frac{{\sqrt 2 \left( {\sqrt 3 – 1} \right)}}{{3 – 1}} + \frac{{\sqrt 2 \left( {1 + \sqrt 3 } \right)}}{{3 – 1}}\\ = \frac{{\sqrt 6 – \sqrt 2 + \sqrt 2 + \sqrt 6 }}{2}\\ = \sqrt 6 \end{array}\)
Vậy \(B = \sqrt 6 \).