Chứng minh \(ac < 0\). b) Bước 1: Áp dụng định lý Viète để tính \({x_1} + {x_2};{x_1}. {x_2}\) Bước 2. Giải và trình bày phương pháp giải Giải bài 25 trang 71 sách bài tập toán 9 – Cánh diều tập 2 – Bài 3. Định lí Viète. Cho phương trình ({x^2} + x – 2 + sqrt 2 = 0.) a) Chứng tỏ rằng phương trình có…
Đề bài/câu hỏi:
Cho phương trình \({x^2} + x – 2 + \sqrt 2 = 0.\)
a) Chứng tỏ rằng phương trình có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\) trái dấu.
b) Không giải phương trình, tính:
\(A = x_1^2 + x_2^2;\\B = x_1^3 + x_2^3;\\C = \frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}};\\D = \left| {{x_1} – {x_2}} \right|.\)
Hướng dẫn:
a) Chứng minh \(ac < 0\).
b) Bước 1: Áp dụng định lý Viète để tính \({x_1} + {x_2};{x_1}.{x_2}\)
Bước 2: Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện \({x_1} + {x_2};{x_1}.{x_2}\)
Lời giải:
a) Phương trình có các hệ số \(a = 1;b = 1;c = – 2 + \sqrt 2 .\)
Ta có \(ac = 1.\left( { – 2 + \sqrt 2 } \right) = – 2 + \sqrt 2 < 0\), suy ra phương trình có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\) trái dấu.
b) Do phương trình luôn có 2 nghiệm nên áp dụng định lý Viète, ta có:
\({x_1} + {x_2} = – 1;{x_1}.{x_2} = – 2 + \sqrt 2 .\)
+) \(A = {x_1}^2 + {x_2}^2 \)
\(= {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 2{x_1}{x_2} \\= {\left( { – 1} \right)^2} – 2\left( { – 2 + \sqrt 2 } \right) \\= 5 – 2\sqrt 2 \)
+) \(B = x_1^3 + x_2^3 \)
\(= \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {{x_1}^2 – {x_1}{x_2} + {x_2}^2} \right) \\= \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} – 3{x_1}{x_2}} \right)\\ = \left( { – 1} \right)\left( {{{\left( { – 1} \right)}^2} – 3\left( { – 2 + \sqrt 2 } \right)} \right)\\ = – 7 + 3\sqrt 2 \)
+) \(C = \frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}}\)
\(= \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}.{x_2}}} \\= \frac{{ – 1}}{{ – 2 + \sqrt 2 }} \\= \frac{1}{{2 – \sqrt 2 }} \\= 1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
+) Xét \({D^2} = {\left| {{x_1} – {x_2}} \right|^2} \)
\(= {x_1}^2 + {x_2}^2 – 2{x_1}{x_2} \\= {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 4{x_1}{x_2} \\= {\left( { – 1} \right)^2} – 4\left( { – 2 + \sqrt 2 } \right)\\ = 9 – 4\sqrt 2 \\= {\left( {2\sqrt 2 – 1} \right)^2}\)
Suy ra \(D = 2\sqrt 2 – 1\).