Dựa vào phép quay thuận chiều \({\alpha ^o}\) (\({0^o} < {\alpha ^o} < {360^o}\)) tâm O giữ nguyên điểm O. Hướng dẫn giải Giải bài 18 trang 112 sách bài tập toán 9 – Cánh diều tập 2 – Bài 2. Phép quay. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD với A(1; 1), B(-1; 1), C(-1; -1), D(1; -1)….
Đề bài/câu hỏi:
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD với A(1; 1), B(-1; 1), C(-1; -1), D(1; -1). Phép quay ngược chiều 45° tâm O biến các điểm A, B, C, D lần lượt thành các điểm A’, B’, C’, D’. Tính diện tích tứ giác A’B’C’D’.
Hướng dẫn:
Dựa vào phép quay thuận chiều \({\alpha ^o}\) (\({0^o} < {\alpha ^o} < {360^o}\)) tâm O giữ nguyên điểm O, biến điểm M (khác điểm O) thành điểm M’ thuộc đường tròn (O; OM) sao cho tia OM quay thuận chiều kim đồng hồ đến tia OM’ thì điểm M tạo nên cung MnM’ có số đo \({\alpha ^o}\).
Dựa vào phép quay thuận chiều \({\alpha ^o}\) (\({0^o} < {\alpha ^o} < {360^o}\)) tâm O được phát biểu tương tự như trên.
Lời giải:
Gọi H là hình chiếu của A trên Oy.
Ta có A(1; 1) nên suy ra AH = OH = 1.
Do đó ∆OAH vuông cân tại H nên \(\widehat {AOH} = {45^o}\) .
Xét ∆OAH vuông tại H, ta có: OA2 = OH2 + AH2 (định lí Pythagore)
Suy ra OA = \(\sqrt {O{H^2} + A{H^2}} = \sqrt {{1^2} + {1^2}} = \sqrt 2 \).
Tương tự, ta sẽ có OA = OB = OC = OD = \(\sqrt 2 \).
Mặt khác, do ABCD là hình vuông nên hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, do đó O là tâm của hình vuông.
Do đó, phép quay ngược chiều 45° tâm O biến điểm A thành các điểm A’ nằm trên tia Oy sao cho OA’ = OA = \(\sqrt 2 \), tức là (0; \(\sqrt 2 \)).
Tương tự, ta chứng minh được, phép quay ngược chiều 45° tâm O biến các điểm A, B, C, D lần lượt thành các điểm \(A'(0;\sqrt 2 ),B’\left( { – \sqrt 2 ;0} \right),C'(0; – \sqrt 2 ),D\left( {\sqrt 2 ;0} \right)\).
Suy ra tứ giác A’B’C’D’ là hình vuông với hai đường chéo là A’C’ và B’D’, nên diện tích tứ giác A’B’C’D’ là: \(\frac{1}{2}.A’C’.B’D’ = \frac{1}{2}.2\sqrt 2 .2\sqrt 2 = 4\) (đơn vị diện tích).