Rút gọn phân thức bằng cách cộng hai phân thức đã cho với nhau. Giải chi tiết Giải bài 4 trang 22 vở thực hành Toán 8 tập 2 – Luyện tập chung trang 22. Cho biểu thức \(P = \frac{{{x^2} – 6{\rm{x}} + 9}}{{9 – {x^x}}} + \frac{{4{\rm{x}} + 8}}{{x + 3}}\…
Đề bài/câu hỏi:
Cho biểu thức \(P = \frac{{{x^2} – 6{\rm{x}} + 9}}{{9 – {x^x}}} + \frac{{4{\rm{x}} + 8}}{{x + 3}}\)
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P tại x = 7.
c) Chứng tỏ \(P = 3 + \frac{2}{{x + 3}}\). Từ đó tìm tất cả các giá trị nguyên của x sao cho biểu thức đã cho nhận giá trị nguyên.
Hướng dẫn:
a) Rút gọn phân thức bằng cách cộng hai phân thức đã cho với nhau.
b) Thay giá trị x = 7 vào phân thức đã rút gọn.
c) Ta tính: \(P – 3 – \frac{2}{{x + 3}} = 0 \Rightarrow P = 3 + \frac{2}{{x + 3}}\).
Lời giải:
a) \(P = \frac{{{{\left( {x – 3} \right)}^2}}}{{ – \left( {x – 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{4x + 8}}{{x + 3}} = \frac{{x – 3}}{{ – \left( {x + 3} \right)}} + \frac{{4x + 8}}{{x – 3}}\)
\( = \frac{{3 – x + 4{\rm{x}} + 8}}{{x + 3}} = \frac{{3{\rm{x}} + 11}}{{x + 3}}\)
b) \(P(7) = \frac{{3.7 + 11}}{{7 + 3}} = 3,2\)
c) \(P = \frac{{3{\rm{x}} + 11}}{{x + 3}} = \frac{{3(x + 3) + 2}}{{x + 3}} = 3 + \frac{2}{{x + 3}}\), do đó \(\frac{2}{{x + 3}} = P – 3\).
Nếu \(P \in \mathbb{Z}\) và \(x \in \mathbb{Z}\) thì \(\frac{2}{{x + 3}} \in \mathbb{Z}\) và x + 3 là ước số nguyên của 2.
Do đó, \(x + 3 \in \left\{ {1;2; – 1; – 2} \right\}\).
Ta lập được bảng sau:
|
x + 3 |
1 |
2 |
-1 |
-2 |
|
x |
-2 |
-1 |
-4 |
-5 |
|
P |
5 ™ |
4 ™ |
1 ™ |
2 ™ |
Do đó các giá trị nguyên x cần tìm là \(x \in \left\{ { – 2; – 1; – 4; – 5} \right\}\) (các giá trị này của x đều tỏa mãn điều kiện xác định của P).