Bài 5 trang 135 Toán 8 tập 2 – Kết nối tri thức: Cho biểu thức: P = x + y/1 – xy + x – y/1 + xy : 1 + x^2 + y^2 + 2x^2/y^2/1 – x^2/y^2

Đề bài/câu hỏi:

Cho biểu thức:

\(P = \left( {\frac{{x + y}}{{1 – xy}} + \frac{{x – y}}{{1 + xy}}} \right):\left(1 + \frac{{{x^2} + {y^2} + 2{{\rm{x}}^2}{y^2}}}{{1 – {x^2}{y^2}}}\right)\)

Trong đó x và y là hai biến thỏa mãn điều kiện \({x^2}{y^2} – 1 \ne 0\)

a) Tính tổng \(A = \frac{{x + y}}{{1 – xy}} + \frac{{x – y}}{{1 + xy}}\) và \(B = 1 + \frac{{{x^2} + {y^2} + 2{{\rm{x}}^2}{y^2}}}{{1 – {x^2}{y^2}}}\)

b) Từ kết quả câu a) hãy thu gọn P và giải thích tại sao giá trị của P không phụ thuộc vào giá trị của biến y.

c) Chứng minh đẳng thức: \(P = 1 – \frac{{{{\left( {1 – x} \right)}^2}}}{{1 – {x^2}}}\)

d) Sử dụng câu c) hãy tìm các giá trị của x và y sao cho P = 1

Hướng dẫn:

Rút gọn phân thức theo quy tắc rút gọn

Lời giải:

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}A = \frac{{x + y}}{{1 – xy}} + \frac{{x – y}}{{1 + xy}}\\A = \frac{{\left( {x + y} \right)\left( {1 + xy} \right) + \left( {x – y} \right)\left( {1 – xy} \right)}}{{1 – {x^2}{y^2}}}\\A = \frac{{x + {x^2}y + y + x{y^2} + x – {x^2}y – y + x{y^2}}}{{1 – {x^2}{y^2}}}\\A = \frac{{2{\rm{x}} + 2{\rm{x}}{y^2}}}{{1 – {x^2}{y^2}}}\\A = \frac{{2x\left( {1 + {y^2}} \right)}}{{1 – {x^2}{y^2}}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}B = 1 + \frac{{{x^2} + {y^2} + 2{{\rm{x}}^2}{y^2}}}{{1 – {x^2}{y^2}}}\\B = \frac{{1 – {x^2}{y^2} + {x^2} + {y^2} + 2{{\rm{x}}^2}{y^2}}}{{1 – {x^2}{y^2}}}\\B = \frac{{1 + {x^2} + {y^2} + {x^2}{y^2}}}{{1 – {x^2}{y^2}}} \\ B = \frac{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}}{{1 – {x^2}{y^2}}}\end{array}\)

b) Từ hai kết quả trên, ta có:

\(\begin{array}{l}P = \left( {\frac{{x + y}}{{1 – xy}} + \frac{{x – y}}{{1 + xy}}} \right):\left(1 + \frac{{{x^2} + {y^2} + 2{{\rm{x}}^2}{y^2}}}{{1 – {x^2}{y^2}}}\right)\\=\frac{{2x\left( {1 + {y^2}} \right)}}{{1 – {x^2}{y^2}}}:\frac{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}}{{1 – {x^2}{y^2}}}\\ = \frac{{2x\left( {1 + {y^2}} \right)}}{{1 – {x^2}{y^2}}}.\frac{{1 – {x^2}{y^2}}}{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}} = \frac{{2{\rm{x}}}}{{1 + {x^2}}}\left( * \right)\end{array}\)

Vậy giá trị của P không phụ thuộc vào giá trị của biến y.

c) Ta có:

\(\begin{array}{l}1 – \frac{{{{\left( {1 – x} \right)}^2}}}{{1 + {x^2}}}\\ = \frac{{1 + {x^2} – 1 + 2{\rm{x}} – {x^2}}}{{1 + {x^2}}}\\ = \frac{{2{\rm{x}}}}{{1 + {x^2}}} = P\end{array}\)

d) Ta có:

\(\begin{array}{l}1 – \frac{{{{\left( {1 – x} \right)}^2}}}{{1 + {x^2}}} = 1\\ \Rightarrow \frac{{{{\left( {1 – x} \right)}^2}}}{{1 + {x^2}}} = 0\\ \Rightarrow {\left( {1 – x} \right)^2} = 0\\ \Rightarrow 1 – x = 0\\ \Rightarrow x = 1\\\end{array}\)

Vậy x = 1.