Bài 2.20 trang 41 Toán 8 tập 1 – Kết nối tri thức: Chứng minh rằng a^3 + b^3 = a + b ^3 – 3ab a + b . Áp dụng, tính a^3 + b^3 biết a + b = 4

Đề bài/câu hỏi:

Chứng minh rằng \({a^3} + {b^3} = {\left( {a + b} \right)^3} – 3ab\left( {a + b} \right)\).

Áp dụng, tính \({a^3} + {b^3}\) biết \(a + b = 4\) và \(ab = 3\).

Hướng dẫn:

Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để khai triển VP

\({\left( {a+b} \right)^3} = {a}^3 + 3.{a}^2.b + 3.{a}.{{b}^2} + {{b}^3}\)

Sau đó chứng minh VP = VT.

Từ đó, thay dữ kiện đề bài để tính giá trị biểu thức \({a^3} + {b^3}\)

Lời giải:

\(\begin{array}{l}VP = {\left( {a + b} \right)^3} – 3ab\left( {a + b} \right) = \left( {{a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}} \right) – \left( {3ab.a + 3ab.b} \right)\\ = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3} – 3{a^2}b – 3a{b^2}\\ = {a^3} + {b^3} = VT\end{array}\)

Vậy \({a^3} + {b^3} = {\left( {a + b} \right)^3} – 3ab\left( {a + b} \right) = {4^3} – 3.3.4 = 28\).