Bài 4 trang 48 Toán 8 tập 1 – Cánh diều: Chứng minh giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến

Đề bài/câu hỏi:

Chứng minh giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:

a) \(A = \left( {\frac{1}{{x – 1}} + \frac{1}{{x + 1}}} \right)\left( {x – \frac{1}{x}} \right)\);

b) \(B = \left( {\dfrac{x}{{xy – {y^2}}} + \dfrac{{2{\rm{x}} – y}}{{xy – {x^2}}}} \right).\dfrac{{{x^2}y – x{y^2}}}{{{{\left( {x – y} \right)}^2}}}\)

Hướng dẫn:

Sử dụng các phép nhân, chia phân thức đại số để tính toán các biểu thức đại số về kết quả không chưa các biến.

Lời giải:

\(\begin{array}{l}a) A = \left( {\frac{1}{{x – 1}} + \frac{1}{{x + 1}}} \right)\left( {x – \frac{1}{x}} \right)\\ = \left( {\frac{{x + 1 + x – 1}}{{{x^2} – 1}}} \right).\left( {\frac{{{x^2} – 1}}{x}} \right)\\ = \frac{{2x}}{{{x^2} – 1}}.\frac{{{x^2} – 1}}{x} = \frac{{2x.\left( {{x^2} – 1} \right)}}{{x\left( {{x^2} – 1} \right)}} = 2\end{array}\)

Vậy A = 2 không phụ thuộc vào giá trị của các biến

\(\begin{array}{l}b) B = \left( {\dfrac{x}{{xy – {y^2}}} + \dfrac{{2{\rm{x}} – y}}{{xy – {x^2}}}} \right).\dfrac{{{x^2}y – x{y^2}}}{{{{\left( {x – y} \right)}^2}}}\\= \dfrac{x}{{y\left( {x – y} \right)}}.\dfrac{{{x^2}y – x{y^2}}}{{{{\left( {x – y} \right)}^2}}} + \dfrac{{2{\rm{x}} – y}}{{x\left( {y – x} \right)}}.\dfrac{{{x^2}y – x{y^2}}}{{{{\left( {x – y} \right)}^2}}}\\= \dfrac{x}{{y\left( {x – y} \right)}}.\dfrac{{xy\left( {x – y} \right)}}{{{{\left( {x – y} \right)}^2}}} + \dfrac{{2{\rm{x}} – y}}{{ – x\left( {x – y} \right)}}.\dfrac{{xy\left( {x – y} \right)}}{{{{\left( {x – y} \right)}^2}}}\\= \dfrac{{{x^2}}}{{{{\left( {x – y} \right)}^2}}} – \dfrac{{\left( {2{\rm{x}} – y} \right)y}}{{{{\left( {x – y} \right)}^2}}}\\= \dfrac{{{x^2} – \left( {2{\rm{x}} – y} \right)y}}{{{{\left( {x – y} \right)}^2}}} = \dfrac{{{x^2} – 2{\rm{x}}y + {y^2}}}{{{{\left( {x – y} \right)}^2}}} = \dfrac{{{{\left( {x – y} \right)}^2}}}{{{{\left( {x – y} \right)}^2}}} = 1\end{array}\)

Vậy B = 1 không phụ thuộc vào giá trị của biến x