Bài 9.51 trang 64 SBT toán 8 – Kết nối tri thức: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ H xuống AB và AC

Đề bài/câu hỏi:

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ H xuống AB và AC. Chứng minh rằng:

a) \(AM.AB = A{H^2}\) và \(AM.AB = AN.AC\)

b) $\Delta AMN\backsim \Delta ACB$

Hướng dẫn:

a) Sử dụng kiến thức về định lý (trường hợp đồng dạng góc – góc) để chứng minh tam giác đồng dạng: Nếu hai góc của tam giác lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

b) Sử dụng kiến thức về trường hợp đồng dạng của tam giác để chứng minh: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

Lời giải:

Vì tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat {BAC} = {90^0}\)

Vì \(AH \bot BC\) (do AH là đường cao của tam giác ABC) nên \(\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = {90^0}\)

Vì \(HM \bot AB\) nên \(\widehat {HMA} = \widehat {HMB} = {90^0}\)

Vì \(HN \bot AC\) nên \(\widehat {HNA} = \widehat {HNC} = {90^0}\)

Tam giác AMH và tam giác AHB có:

\(\widehat {AMH} = \widehat {AHB} = {90^0},\widehat {HAB}\;chung\)

Do đó, $\Delta AMH\backsim \Delta AHB\left( g-g \right)$

Suy ra: \(\frac{{AM}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AB}}\) nên \(AM.AB = A{H^2}\) (1)

Tam giác ANH và tam giác AHC có:

\(\widehat {ANH} = \widehat {AHC} = {90^0},\widehat {HAC}\;chung\)

Do đó, $\Delta ANH\backsim \Delta AHC\left( g-g \right)$

Suy ra: \(\frac{{AN}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AC}}\) nên \(AN.AC = A{H^2}\) (2)

Từ (1) và (2) ta có: \(AM.AB = AN.AC\)

b) Theo phần a ta có: \(AM.AB = AN.AC\) nên \(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AB}}\)

Tam giác AMN và tam giác ACB có: \(\widehat {BAC}\;chung,\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AB}}\)

Do đó, $\Delta AMN\backsim \Delta ACB\left( c-g-c \right)$