Sử dụng kiến thức rút gọn phân thức để rút gọn phân thức. Vận dụng kiến thức giải Giải bài 6.39 trang 15 sách bài tập toán 8 – Kết nối tri thức với cuộc sống – Bài tập cuối Chương 6. Biết \(x + y + z = 0\) và \(x,y,z \ne 0.\) Rút gọn biểu thức sau:…
Đề bài/câu hỏi:
Biết \(x + y + z = 0\) và \(x,y,z \ne 0.\) Rút gọn biểu thức sau:
\(\frac{{xy}}{{{x^2} + {y^2} – {z^2}}} + \frac{{yz}}{{{y^2} + {z^2} – {x^2}}} + \frac{{zx}}{{{z^2} + {x^2} – {y^2}}}\)
Hướng dẫn:
Sử dụng kiến thức rút gọn phân thức để rút gọn phân thức:
+ Rút gọn phân thức là biến đổi phân thức đó thành một biểu thức mới bằng nó nhưng đơn giản hơn
+ Muốn rút gọn một phân thức đại số ta làm như sau:
– Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung;
– Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.
Lời giải:
Vì \(x + y + z = 0\) nên \(z = – \left( {x + y} \right)\)
Do đó, \({x^2} + {y^2} – {z^2} = {x^2} + {y^2} – {\left( {x + y} \right)^2} = {x^2} + {y^2} – {x^2} – {y^2} – 2xy = – 2xy\)
Khi đó, \(\frac{{xy}}{{{x^2} + {y^2} – {z^2}}} = \frac{{xy}}{{ – 2xy}} = \frac{{ – 1}}{2}\)
Tương tự ta có, \(\frac{{yz}}{{{y^2} + {z^2} – {x^2}}} = \frac{{ – 1}}{2};\frac{{zx}}{{{z^2} + {x^2} – {y^2}}} = \frac{{ – 1}}{2}\)
Do đó, \(\frac{{xy}}{{{x^2} + {y^2} – {z^2}}} + \frac{{yz}}{{{y^2} + {z^2} – {x^2}}} + \frac{{zx}}{{{z^2} + {x^2} – {y^2}}} = \frac{{ – 1}}{2} + \frac{{ – 1}}{2} + \frac{{ – 1}}{2} = \frac{{ – 3}}{2}\)