Áp dụng hằng đẳng thức và phép cộng trừ nhân chia phân thức đại số để rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức. Trả lời Giải bài 25 trang 41 sách bài tập toán 8 – Cánh diều – Bài tập cuối Chương 2. Cho biểu thức: \(S = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x}….
Đề bài/câu hỏi:
Cho biểu thức: \(S = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x}.\left( {1 – \frac{{{x^2}}}{{x + 2}}} \right) – \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}\)
a) Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức \(S\) tại \(x = 0,1\)
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(S\)
Hướng dẫn:
Áp dụng hằng đẳng thức và phép cộng trừ nhân chia phân thức đại số để rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức.
Lời giải:
a) Điều kiện xác định của biểu thức \(S\) là: \(x \ne 0;x \ne – 2\)
Rút gọn biểu thức ta có:
\(\begin{array}{l}S = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x}.\left( {1 – \frac{{{x^2}}}{{x + 2}}} \right) – \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}\\ = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x}.\frac{{x + 2 – {x^2}}}{{x + 2}} – \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}\\ = \frac{{\left( {x + 2} \right).\left( { – {x^2} + x + 2} \right)}}{x} – \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}\\ = \frac{{ – {x^3} + {x^2} + 2x – 2{x^2} + 2x + 4 – {x^2} – 6x – 4}}{x}\\ = \frac{{ – {x^3} – 2{x^2} – 2x}}{x} = – {x^2} – 2x – 2\end{array}\)
Giá trị của biểu thức \(S\) tại \(x = 0,1\) là: \( – 0,{1^2} – 2.0,1 – 2 = – 2,21\)
b) Ta có: \(S = – {x^2} – 2x – 2 = – \left( {{x^2} – 2x + 1} \right) – 1 = – {\left( {x – 1} \right)^2} – 1\)
Suy ra \(S\) đạt giá trị lớn nhất khi \( – {\left( {x – 1} \right)^2} – 1\) đạt giá trị lớn nhất. Mà với mọi \(x\), ta có \({\left( {x – 1} \right)^2} \ge 0\) hay \( – {\left( {x – 1} \right)^2} – 1 \le – 1\).
Vậy giá trị lớn nhất của \(S\) là -1 khi \(\left( {x – 1} \right) = 0\) hay \(x = 1\) (thỏa mãn điều kiện xác định)