Muốn rút gọn hai phân thức, ta có thể làm như sau: Bước 1. Giải chi tiết Giải bài 10 trang 36 sách bài tập toán 8 – Cánh diều – Bài 2. Phép cộng – phép trừ phân thức đại số. Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức:…
Đề bài/câu hỏi:
Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức:
a) \(A = x + 1 – \frac{{{x^2} – 4}}{{x – 1}}\) tại \(x = – 4\)
b) \(B = \frac{1}{{5 – x}} – \frac{{{x^2} + 5x}}{{{x^2} – 25}}\) tại \(x = 99\)
c) \(C = \frac{1}{{x – 1}} – \frac{{2x}}{{{x^3} – {x^2} + x – 1}}\) tại \(x = 0,7\)
d) \(D = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{1}{{x + 2}}\) tại \(\frac{1}{{23}}\)
Hướng dẫn:
Muốn rút gọn hai phân thức, ta có thể làm như sau:
Bước 1: phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần)
Bước 2: tìm nhân tử chung của 2 phân thức rồi quy đồng.
Bước 3: thực hiện rút gọn sau đó tính giá trị của phân thức đã rút gọn
Lời giải:
a) Điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là \(x \ne 1\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}A = A = x + 1 – \frac{{{x^2} – 4}}{{x – 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)}}{{x – 1}} – \frac{{{x^2} – 4}}{{x – 1}} = \frac{{{x^2} – 1 – \left( {{x^2} – 4} \right)}}{{x – 1}}\\ = \frac{{{x^2} – 1 – {x^2} + 4}}{{x – 1}} = \frac{3}{{x – 1}}\end{array}\)
Vậy giá trị của biểu thức \(A\) tại \(x = – 4\) là: \(\frac{3}{{ – 4 – 1}} = \frac{{ – 3}}{5}\)
b) Điều kiện xác định của biểu thức \(B\) là \(x \ne \pm 5\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}B = \frac{1}{{5 – x}} – \frac{{{x^2} + 5x}}{{{x^2} – 25}} = \frac{{ – 1}}{{x – 5}} – \frac{{{x^2} + 5x}}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x – 5} \right)}}\\ = \frac{{ – 1\left( {x + 5} \right)}}{{\left( {x – 5} \right)\left( {x + 5} \right)}} – \frac{{{x^2} + 5x}}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x – 5} \right)}}\\ = \frac{{ – 1\left( {x + 5} \right) – {x^2} – 5x}}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x – 5} \right)}}\\ = \frac{{ – x – 5 – {x^2} – 5x}}{{\left( {x – 5} \right)\left( {x + 5} \right)}}\\ = \frac{{ – \left( {x + 5} \right) – \left( {{x^2} + 5x} \right)}}{{\left( {x – 5} \right)\left( {x + 5} \right)}}\\ = \frac{{ – \left( {x + 5} \right) – x\left( {x + 5} \right)}}{{\left( {x – 5} \right)\left( {x + 5} \right)}}\\ = \frac{{\left( { – 1 – x} \right)\left( {x + 5} \right)}}{{\left( {x – 5} \right)\left( {x + 5} \right)}} = \frac{{ – 1 – x}}{{x – 5}}\end{array}\)
Vậy giá trị của biểu thức \(B\) tại \(x = 99\) là: \(\frac{{ – 1 – 99}}{{99 – 5}} = \frac{{ – 50}}{{47}}\)
c) Ta có: \({x^3} – {x^2} + x – 1 = \left( {{x^3} – {x^2}} \right) + \left( {x – 1} \right) = {x^2}\left( {x – 1} \right) + \left( {x – 1} \right) = \left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)\)
Điều kiện xác định của biểu thức \(C\) là: \(x \ne 1\)
Suy ra
\(\begin{array}{l}C = \frac{1}{{x – 1}} – \frac{{2x}}{{{x^3} – {x^2} + x – 1}} = \frac{1}{{x – 1}} – \frac{{2x}}{{\left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}\\ = \frac{{{x^2} + 1}}{{\left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}} – \frac{{2x}}{{\left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}\\ = \frac{{{x^2} + 1 – 2x}}{{\left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}} = \frac{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}{{\left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}\\ = \frac{{x – 1}}{{{x^2} + 1}}\end{array}\)
Vậy giá trị của biểu thức \(C\) tại \(x = 0,7\) là: \(\frac{{0,7 – 1}}{{0,{7^2} + 1}} = \frac{{ – 30}}{{149}}\)
d) Điều kiện xác định của biểu thức \(D\) là: \(x \ne 0;x \ne – 1;x \ne – 2\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}D = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{1}{{x + 2}}\\ = \left( {\frac{1}{x} – \frac{1}{{x + 1}}} \right) + \left( {\frac{1}{{x + 1}} – \frac{1}{{x + 2}}} \right) + \frac{1}{{x + 2}} = \frac{1}{x}\end{array}\)
Vậy giá trị của biểu thức \(D\) tại \(x = \frac{1}{{23}}\) là: \(\frac{1}{{\frac{1}{{23}}}} = 23\)