Đề thi giữa kì 1 Toán 8 – Đề số 5 – Chân trời sáng tạo: Phần trắc nghiệm (2 điểm) Kết quả của phép nhân đa thức 4x^5 + 7x^2 với đơn thức – 3x^3 là : A. 12x^8 + 21x^5. B

Đề thi:

Phần trắc nghiệm (2 điểm)

Câu 1: Kết quả của phép nhân đa thức \(4{{\rm{x}}^5} + 7{{\rm{x}}^2}\) với đơn thức \( – 3{{\rm{x}}^3}\) là :

Câu 2: Khi viết đa thức \(9{{\rm{x}}^2} + 1 – 6{\rm{x}}\) dưới dạng lũy thừa, ta được kết quả là

Câu 3: Để biểu thức \({{\rm{x}}^3} – 3{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} + {\rm{a}}\) trở thành lập phương một hiệu thì a được thay bằng

Câu 4: Giá trị của biểu thức \(12{{\rm{x}}^2}{{\rm{y}}^2}{\rm{\;}}:\left( { – 9{\rm{x}}{{\rm{y}}^2}} \right)\) tại là

Câu 5: Kết quả của phép tính \(15.{\rm{\;}}91,5 + 150.{\rm{\;}}0,85\) là

Câu 6: Thu gọn biểu thức \({\left( {{\rm{a}} – {\rm{b}}} \right)^3} + {\left( {{\rm{a}} + {\rm{b}}} \right)^3} – 6{\rm{a}}{{\rm{b}}^2}\) ta được kết quả là

Câu 7: Cho hình chóp đều tam giác S.ABC như hình vẽ. Các mặt bên của hình chóp luôn có dạng hình

Câu 8: Đường cao của hình chóp tứ giác đều trong hình vẽ là đoạn

Câu 9: Cho hình chóp tam giác đều có chu vi đáy là C = 2p, trong đó p là nửa chu vi và trung đoạn có độ dài d. Công thức tính diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều đó là

Câu 10: Kim tự tháp Kheops là công trình vĩ đại có dạng hình chóp tứ giác đều, cạnh đáy bằng 230 m; chiều cao 139,1m. Thể tích kim tự tháp Kheops gần nhất với giá trị nào dưới đây?

Phần tự luận (8 điểm)

Bài 1. (3,5 điểm)

1. Thực hiện phép tính : (x³y³ – x²y³ – 4x³y²) : 2x²y².

2. Cho biểu thức : A = (x – 2)³ – x²(x – 4) + 8

B = (x² – 6x + 9) : (x – 3) – x(x + 7) – 9

a) Thu gọn biểu thức A và B.

b) Tính giá trị của biểu thức A tại giá trị x = – 1.

c) Biết C = A + B. Chứng minh C luôn âm với mọi giá trị của x.

Bài 2. (2 điểm)

1) Tìm \({\rm{x}}\), biết \({\left( {2{\rm{x}} + 2} \right)^2} – {\left( {2{\rm{x}} – 1} \right)^2} = 0\)

2) Biết số tự nhiên a chia cho 5 dư 4. Chứng minh rằng \({{\rm{a}}^2}\) chia cho 5 dư 1.

3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\({\rm{Q}} = 5{{\rm{x}}^2} + 5{{\rm{y}}^2} + 8{\rm{xy}} – 2{\rm{x}} + 2{\rm{y}} + 2\).

Bài 3. (1 điểm) Viết đa thức biểu thị phần màu xanh trong hình sau:

Bài 4. (1,5 điểm) Đèn để bàn hình kim tự tháp có dạng hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 25cm, chiều cao của đèn để bàn dài 35cm.

a) Tính thể tích của chiếc đèn để bàn hình kim tự tháp này.

b) Bạn Kim định dán các mặt bên của đèn bằng tấm giấy màu. Tính diện tích giấy màu bạn Kim cần sử dụng (coi như mép dán không đáng kể), biết độ dài trung đoạn chiếc đèn hình chóp này là 37cm.

c) Nếu mỗi mét vuông giấy màu là 120000 đồng. Hỏi bạn Kim cần chuẩn bị ít nhất bao nhiêu tiền để mua đủ giấy màu để dán được các mặt bên của chiếc đèn để bàn này ?

– Hết –

Đáp án Đề thi:

Phần trắc nghiệm (2 điểm)

Câu 1: Kết quả của phép nhân đa thức \(4{{\rm{x}}^5} + 7{{\rm{x}}^2}\) với đơn thức \( – 3{{\rm{x}}^3}\) là :

Hướng dẫn:

Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đơn thức: ta nhân từng hạng tử của đa thức với đơn thức sau đó cộng các kết quả với nhau.

Lời giải

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {4{x^5} + 7{x^2}} \right)\left( { – 3{x^3}} \right)\\ = 4{x^5}.\left( { – 3{x^3}} \right) + \left( {7{x^2}} \right)\left( { – 3{x^3}} \right)\\ = – 12{x^8} – 21{x^5}\end{array}\)

Đáp án D.

Câu 2: Khi viết đa thức \(9{{\rm{x}}^2} + 1 – 6{\rm{x}}\) dưới dạng lũy thừa, ta được kết quả là

Hướng dẫn:

Lựa chọn phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử phù hợp.

Lời giải

\(9{{\rm{x}}^2} + 1 – 6{\rm{x}} = {\left( {3x} \right)^2} – 2.3x + 1 = {\left( {3x – 1} \right)^2}\).

Đáp án D.

Câu 3: Để biểu thức \({{\rm{x}}^3} – 3{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} + {\rm{a}}\) trở thành lập phương một hiệu thì a được thay bằng

Hướng dẫn:

Sử dụng hằng đẳng thức lập phương của một hiệu để tìm a.

Lời giải

\({x^3} – 3{x^2} + 3x + a = {x^3} – 3.{x^2}.1 + 3.x.{\left( { – 1} \right)^2} + a\).

Để biểu thức trở thành lập phương của một hiệu thì \(a = {( – 1)^3} = – 1\). Vậy a = -1.

Đáp án D.

Câu 4: Giá trị của biểu thức \(12{{\rm{x}}^2}{{\rm{y}}^2}{\rm{\;}}:\left( { – 9{\rm{x}}{{\rm{y}}^2}} \right)\) tại là

Hướng dẫn:

Dựa vào quy tắc chia đơn thức cho đơn thức.

Lời giải

Ta có:

\(12{{\rm{x}}^2}{{\rm{y}}^2}{\rm{\;}}:\left( { – 9{\rm{x}}{{\rm{y}}^2}} \right) = \left[ {12: – 9} \right].\left( {{x^2}:x} \right).\left( {{y^2}:{y^2}} \right) = \frac{{ – 4}}{3}x\)

Thay \({\rm{x}} = – 3\) và \({\rm{y}} = 1,005\) vào biểu thức ta được: \(\frac{{ – 4}}{3}.\left( { – 3} \right) = 4\).

Đáp án A.

Câu 5: Kết quả của phép tính \(15.{\rm{\;}}91,5 + 150.{\rm{\;}}0,85\) là

Hướng dẫn:

Tìm nhân tử chung để thực hiện phép tính nhanh.

Lời giải

Ta có:

\(\begin{array}{l}15.{\rm{\;}}91,5 + 150.{\rm{\;}}0,85\\ = 15.91,5 + 15.8,5\\ = 15(91,5 + 8,5)\\ = 15.100\\ = 1500\end{array}\)

Đáp án D.

Câu 6: Thu gọn biểu thức \({\left( {{\rm{a}} – {\rm{b}}} \right)^3} + {\left( {{\rm{a}} + {\rm{b}}} \right)^3} – 6{\rm{a}}{{\rm{b}}^2}\) ta được kết quả là

Hướng dẫn:

Sử dụng các hằng thức đáng nhớ để rút gọn.

Lời giải

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {{\rm{a}} – {\rm{b}}} \right)^3} + {\left( {{\rm{a}} + {\rm{b}}} \right)^3} – 6{\rm{a}}{{\rm{b}}^2}\\ = \left( {a – b + a + b} \right)\left[ {{{\left( {a – b} \right)}^2} – (a – b)(a + b) + {{(a + b)}^2}} \right] – 6a{b^2}\\ = 2a\left( {{a^2} – 2ab + {b^2} – {a^2} + {b^2} + {a^2} + 2ab + {b^2}} \right) – 6a{b^2}\\ = 2a\left( {{a^2} + 3{b^2}} \right) – 6a{b^2}\\ = 2{a^3} + 6a{b^2} – 6a{b^2}\\ = 2{a^3}\end{array}\)

Đáp án A.

Câu 7: Cho hình chóp đều tam giác S.ABC như hình vẽ.

Các mặt bên của hình chóp luôn có dạng hình

Hướng dẫn:

Dựa vào đặc điểm của hình chóp tam giác đều.

Lời giải

Trong hình chóp tam giác đều, các mặt bên của hình chóp luôn có dạng hình tam giác cân tại S.

Đáp án C.

Câu 8: Đường cao của hình chóp tứ giác đều trong hình vẽ là đoạn

Hướng dẫn:

Dựa vào đặc điểm của hình chóp tứ giác.

Lời giải

Đường cao của hình chóp tứ giác trên là đoạn SO.

Đáp án C.

Câu 9: Cho hình chóp tam giác đều có chu vi đáy là C = 2p, trong đó p là nửa chu vi và trung đoạn có độ dài d. Công thức tính diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều đó là

Hướng dẫn:

Dựa vào công thức tính diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều.

Lời giải

Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều là S_xq = p.d với p là nửa chu vi và d là trung đoạn.

Đáp án D.

Câu 10: Kim tự tháp Kheops là công trình vĩ đại có dạng hình chóp tứ giác đều, cạnh đáy bằng 230 m; chiều cao 139,1m. Thể tích kim tự tháp Kheops gần nhất với giá trị nào dưới đây?

Hướng dẫn:

Dựa vào công thức tính thể tích hình chóp tứ giác.

Lời giải

Diện tích đáy là: \(S = {S_{ABCD}} = C{D^2} = {230^2}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ({m^2})\)

Thể tích của hình chóp là:

\(V = \frac{1}{3}Sh \approx \frac{1}{3}{.230^2}.139,1 \approx 2\,452\,796,667 \approx 2\,453\,000{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ({m^3})\)

Đáp án A.

Phần tự luận. (8 điểm)

Bài 1. (3,5 điểm)

1. Thực hiện phép tính : (x³y³ – x²y³ – 4x³y²) : 2x²y².

2. Cho biểu thức : A = (x – 2)³ – x²(x – 4) + 8

B = (x² – 6x + 9) : (x – 3) – x(x + 7) – 9

a) Thu gọn biểu thức A và B.

b) Tính giá trị của biểu thức A tại giá trị x = – 1.

c) Biết C = A + B. Chứng minh C luôn âm với mọi giá trị của x.

Hướng dẫn:

1. Áp dụng quy tắc chia đa thức cho đơn thức.

2.

a) Thu gọn biểu thức A và B bằng cách sử dụng các quy tắc tính toán với đa thức.

b) Thay x = -1 vào biểu thức A để tính giá trị của A.

c) Sử dụng quy tắc cộng để tìm C. Biến đổi C thành tích của một số âm và số dương nên luôn âm với mọi x.

Lời giải

1. Ta có

\(\begin{array}{l}({x^3}{y^3}-{x^2}{y^3}-{\rm{ }}4{x^3}{y^2}){\rm{ }}:{\rm{ }}2{x^2}{y^2}\\ = {x^3}{y^3}:2{x^2}{y^2} – {x^2}{y^3}:2{x^2}{y^2} – 4{x^3}{y^2}:2{x^2}{y^2}\\ = \frac{1}{2}xy – \frac{1}{2}y – 2x\end{array}\)

2.

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}A{\rm{ }} = {\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^3}-{\rm{ }}{x^2}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}8\\ = {x^3} – 6{x^2} + 12x – 8 – {x^3} + 4{x^2} + 8\\ = – 2{x^2}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}B{\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {{x^2}-{\rm{ }}6x{\rm{ }} + {\rm{ }}9} \right){\rm{ }}:{\rm{ }}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}x\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}7} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}9\\ = {\left( {x – 3} \right)^2}:\left( {x – 3} \right) – {x^2} – 7x – 9\\ = x – 3 – {x^2} – 7x – 9\\ = – {x^2} – 6x – 12\end{array}\)

b) Thay x = -1 vào A, ta được: A = -2.(-1)² = -2.

c) Ta có:

\(\begin{array}{l}C = A + B = – 2{x^2} + \left( { – {x^2} – 6x – 12} \right)\\ = – 2{x^2} – {x^2} – 6x – 12\\ = – 3{x^2} – 6x – 12\\ = – 3\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)\\ = – 3.\left[ {({x^2} + 2x + 1) + 3} \right]\\ = – 3\left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 3} \right]\end{array}\)

Vì \({\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0\,\forall x \in \mathbb{R}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + 3 \ge 3\,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Rightarrow – 3.\left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 3} \right] \le – 3.3 = – 9\,\forall x \in \mathbb{R}\end{array}\)

Vậy C luôn âm với mọi giá trị x.

Bài 2. (2 điểm)

1) Tìm \({\rm{x}}\), biết \({\left( {2{\rm{x}} + 2} \right)^2} – {\left( {2{\rm{x}} – 1} \right)^2} = 0\)

2) Biết số tự nhiên a chia cho 5 dư 4. Chứng minh rằng \({{\rm{a}}^2}\) chia cho 5 dư 1.

3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\({\rm{Q}} = 5{{\rm{x}}^2} + 5{{\rm{y}}^2} + 8{\rm{xy}} – 2{\rm{x}} + 2{\rm{y}} + 2\).

Hướng dẫn:

1) Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức để tìm x.

2) Đặt a = 5k + 4. Sử dụng hằng đẳng thức để tách a² thành tổng của các hạng tử, chứng minh a² chia 5 dư 1.

3) Biến đổi biểu thức thành tổng của các đa thức bậc 2 + hằng số.

Lời giải

1) Ta có: \({\left( {2{\rm{x}} + 2} \right)^2} – {\left( {2{\rm{x}} – 1} \right)^2} = 0\)

\(\begin{array}{l}\left( {2x + 2 – 2x + 1} \right)\left( {2x + 2 + 2x – 1} \right) = 0\\3\left( {4x + 1} \right) = 0\\4x + 1 = 0\\4x = – 1\\x = – \frac{1}{4}\end{array}\)

Vậy \(x = – \frac{1}{4}\).

2) Vì a chia cho 5 dư 4 nên gọi a = 5k + 4 (\(k \in \mathbb{Z}\)). Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}{a^2} = {\left( {5k + 4} \right)^2}\\{a^2} = 25{k^2} + 40k + 16\end{array}\)

Vì \(25 \vdots 5 \Rightarrow 25{k^2} \vdots 5;\,40 \vdots 5 \Rightarrow 40k \vdots 5\) nên \(\left( {25{k^2} + 40k} \right) \vdots 5\)

Vì 16 chia cho 5 dư 1 nên \(25{k^2} + 40k + 16\) chia cho 5 dư 1 hay a² chia cho 5 dư 1.

3) Ta có:

\(\begin{array}{l}Q = 5{x^2} + 5{y^2} + 8xy – 2x + 2y + 2\\ = 4{x^2} + {x^2} + 4{y^2} + {y^2} + 8xy – 2x + 2y + 1 + 1\\ = \left( {4{x^2} + 8xy + 4{y^2}} \right) + \left( {{x^2} – 2x + 1} \right) + \left( {{y^2} + 2y + 1} \right)\\ = {\left( {2x + 2y} \right)^2} + {\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2}\end{array}\)

Vì

\(\begin{array}{l}{\left( {2x + 2y} \right)^2} \ge 0,\forall x,y \in \mathbb{R};\\{\left( {x – 1} \right)^2} \ge 0,\forall x \in \mathbb{R};\\{\left( {y + 1} \right)^2} \ge 0,\forall y \in \mathbb{R}.\end{array}\)

nên \({\left( {2x + 2y} \right)^2} + {\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} \ge 0,\forall x,y \in \mathbb{R}\). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 2y = 0\\x – 1 = 0\\y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = – 1\end{array} \right.\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q là 0 khi và chỉ khi x = 1 và y = -1.

Bài 3. (1 điểm) Viết đa thức biểu thị phần màu xanh trong hình sau:

Hướng dẫn:

– Viết đa thức biểu thị diện tích hình chữ nhật, hai hình tam giác vuông.

– Diện tích phần màu xanh bằng diện tích hình chữ nhật trừ đi diện tích hai hình tam giác vuông.

Lời giải

Hình chữ nhật lớn có chiều dài là a, chiều rộng là (b + x).

=> Diện tích hình chữ nhật là: S_hcn = a(b + x) = ab + ax.

Ta thấy hai hình tam giác trên bằng nhau có độ dài hai cạnh là a và b => Diện tích hình tam giác là: S_{tam giác} = \(\frac{{ab}}{2}\).

Đa thức biểu thị diện tích phần màu xanh trong hình là:

S_{phần màu xanh} = S_hcn – 2.S_{tam giác} = ab + ax – 2.\(\frac{{ab}}{2}\) = ab + ax – ab = ax.

Bài 4. (1,5 điểm) Đèn để bàn hình kim tự tháp có dạng hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 25cm, chiều cao của đèn để bàn dài 35cm.

a) Tính thể tích của chiếc đèn để bàn hình kim tự tháp này.

b) Bạn Kim định dán các mặt bên của đèn bằng tấm giấy màu. Tính diện tích giấy màu bạn Kim cần sử dụng (coi như mép dán không đáng kể), biết độ dài trung đoạn chiếc đèn hình chóp này là 37cm.

c) Nếu mỗi mét vuông giấy màu là 120000 đồng. Hỏi bạn Kim cần chuẩn bị ít nhất bao nhiêu tiền để mua đủ giấy màu để dán được các mặt bên của chiếc đèn để bàn này ?

Hướng dẫn:

a) Sử dụng công thức tính thể tích hình chóp tứ giác.

b) Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác.

c) Số tiền ít nhất bạn Kim cần để mua đủ giấy màu đề dán các mặt bằng tích của diện tích xung quanh và giá tiền một mét giấy màu.

Lời giải

a) Thể tích của chiếc đèn để bàn hình kim tự tháp này là :

\(V = \frac{1}{3}.S.h = \frac{1}{3}.{\left( {25} \right)^2}.35 = 7291,7(c{m^3})\);

b) Diện tích giấy màu bạn Kim cần sử dụng là :

\({S_{xq}} = p.d = \frac{{4,25}}{2}.37 = 1850(c{m^2}) = 0,185{m^2};\)

c) Bạn Kim cần chuẩn bị ít nhất số tiền để mua đủ giấy màu để dán được các mặt bên của chiếc đèn để bàn này là : 0,185 . 120000 = 22 200 (đồng).