Đề cương ôn tập học kì 1 Toán 7 – Chân trời sáng tạo: A. NỘI DUNG ÔN TẬP Đại số 1. Số hữu tỉ- Các phép tính với số hữu tỉ – Lũy thừa của một số hữu tỉ 2

A. NỘI DUNG ÔN TẬP

Đại số

1. Số hữu tỉ

– Các phép tính với số hữu tỉ

– Lũy thừa của một số hữu tỉ

2. Số thực

– Số vô tỉ – Căn bậc hai số học

– Số thực – Giá trị tuyệt đối của một số thực

Hình học

1. Hình học trực quan

– Hình hộp chữ nhật – Hình lập phương

– Diện tích xung quanh và thể tích hình hộp chữ nhật, hình lập phương

– Hình lăng trụ đứng tam giác – tứ giác

– Diện tích xung quanh và thể tích hình lăng trụ đứng tam giác, tứ giác

2. Góc và đường thẳng song song

– Góc ở vị trí đặc biệt

– Tia phân giác của một góc

– Hai đường thẳng song song

Thống kê

– Phân loại dữ liệu

– Các loại biểu đồ: Biểu đồ quạt tròn, biểu đồ đoạn thẳng.

B. BÀI TẬP

Đề bài/câu hỏi:

I. Phần trắc nghiệm

Câu 1: Khẳng định sai là:

A. \(\sqrt {25} \in I\).

B. \(8,\left( {45} \right) \in \mathbb{Q}\).

C. \(\frac{{20}}{5} \in \mathbb{Z}\).

D. \(\sqrt 7 \in I\).

Câu 2: Kết quả của phép tính \(13,5.\frac{{ – 9}}{8} + 2,5.\frac{{ – 9}}{8}\) là:

A. \( – 18\).

B. \( – 15\).

C. \( – 9\).

D. \(\frac{{ – 8}}{9}\).

Câu 3: Cho \(\left| {x – 1} \right| = \frac{4}{5}\). Tổng tất cả các giá trị của x thỏa mãn là:

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Câu 4: Kết quả của phép tính \(\left| {\frac{{ – 5}}{7}} \right|:\frac{5}{{14}}\) bằng :

A. \(0\).

B. \(\frac{{25}}{{98}}\).

C. \(2\).

D. \( – 2\).

Câu 5: Kết quả của phép tính \(\frac{3}{4} – 25\% {\left( {\frac{{ – 1}}{2}} \right)^2}\) bằng :

A. \(\frac{1}{8}\).

B. \( – \frac{1}{8}\).

C. \(0,25\).

D. \(\frac{{11}}{{16}}\).

Câu 6: Cho \(1 – {\left( {x + \frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{5}{9}\). Số các giá trị âm của x thỏa mãn là :

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Câu 7: Nếu \(\sqrt x = 4\) thì \({x^2}\) bằng :

A. 2.

B. 4.

C. 16.

D. 256.

Câu 8: Biết \({x^2} = 2\). Số các giá trị của x thỏa mãn là:

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Câu 9: Biết \(\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x – 3} \right) \le 0\). Số giá trị nguyên dương của x thỏa mãn là :

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 10: Kết quả của phép tính 118:3 được làm tròn với độ chính xác 0,005 là:

A. 39,34.

B. 39,33.

C. 39,334.

D. 39,333.

Câu 11: Kết quả của phép tính \(\sqrt {25 – 16} \) bằng:

A. 1.

B. 3.

C. 9.

D. 81.

Câu 12: Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \(2 < \sqrt 3 \).

B. \(\sqrt {{{\left( { – 3} \right)}^2}} = – 3\).

C. \(\sqrt {4 + 9} = \sqrt 4 + \sqrt 9 \).

D. \(7 > \sqrt {48} \).

Câu 13: “Mức độ thường xuyên tập thể dục buổi sáng của các bạn trong lớp (rất thường xuyên, thường xuyên, không thường xuyên)”. Phương pháp thu thập dữ liệu nào là hợp lí?

A. Lập bảng câu hỏi.

B. Quan sát các bạn ở trên lớp.

C. Phỏng vấn từng bạn.

Câu 14: Dữ liệu thu được dưới đây thuộc loại nào?

“Mức độ thường xuyên tập thể dục buổi sáng của các bạn trong lớp (rất thường xuyên, thường xuyên, không thường xuyên)”.

A. Số liệu.

B. Dữ liệu không phải là số (có thể sắp thứ tự).

C. Dữ liệu không phải là số (không thể sắp thứ tự).

Câu 15: Một cửa hàng bán nước hoa quả đã khảo sát về loại nước mà khách hàng ưu chuộng và thu được bảng dữ liệu sau:

Từ bảng thống kê trên, hãy cho biết:

a) Có bao nhiêu người tham gia cuộc khảo sát?

A. 12 người.

B. 20 người.

C. 37 người.

D. 47 người.

b) Loại nước nào ít người ưa chuộng nhất?

A. Nước cam.

B. Nước dừa.

C. Nước chanh.

D. Nước ổi.

c) Loại nước nào được nhiều nười ưa chuộng nhất?

A. Nước cam.

B. Nước dừa.

C. Nước chanh.

D. Nước ổi.

Câu 16: Kết quả kiểm tra môn Toán của học sinh lớp 7A được cho trong bảng sau:

Từ bảng thống kê trên, hãy cho biết:

a) Lớp 7A có bao nhiêu học sinh?

A. 40 học sinh.

B. 42 học sinh.

C. 43 học sinh.

D. 44 học sinh.

b) Số học sinh đạt điểm 6 là bao nhiêu?

A. 6 học sinh.

B. 12 học sinh.

C. 8 học sinh.

D. 5 học sinh.

c) Điểm nào được nhiều học sinh đạt nhất?

A. Điểm 6.

B. Điểm 7.

C. Điểm 8.

D. Điểm 9.

Câu 17: Biểu đồ dưới đây cho biết số dân và dự báo quy mô dân số của Trung Quốc và Ấn Độ đến năm 2050.

Đến khoảng năm nào dân số Trung Quốc bằng với dân số Ấn Độ?

A. Năm 2022 hoặc 2023.

B. Năm 2025 hoặc 2026.

C. Năm 2020.

D. Năm 2030.

Câu 18: Kết quả điểm kiểm tra cuối kì môn Toán của trường THCS được biểu thị trong biểu đồ hình quạt tròn dưới đây.

a) Tỉ lệ phần trăm học sinh đạt điểm trung bình so với toàn trường là:

A. 10%.

B. 20%.

C. 30%.

D. 40%.

b) Biết trường có 400 học sinh. Số học sinh đạt điểm khá là:

A. 140.

B. 180.

C. 240.

D. 280.

Câu 19: Hình lập phương có mấy mặt?

A. 4.

B. 5.

C. 6.

D. 7.

Câu 20: Đâu là đường chéo của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’?

A. AC.

B. A’B’.

C. AC’.

D. DC.

Câu 21: Trong các hình sau đây, hình vẽ nào biểu diễn một hình lăng trụ đứng?

A. (1).

B. (2).

C. (3).

D. (4).

Câu 22: Cho hình lăng trụ đứng có đáy là hình tam giác (như hình vẽ). Diện tích xung quanh của hình lăng trụ bên là:

A. 9cm².

B. 18,6cm².

C. 9,3cm².

D. 12cm³.

Câu 23: Cho hình lăng trụ đứng có đáy là hình thang vuông. Cạnh song song với AB là:

A. AC.

B. EF.

C. FG.

D. DC.

Câu 24: Một tấm lịch để bàn có dạng một lăng trụ đứng, ACB là một tam giác cân tại C. Tính diện tích miếng bìa để làm một tấm lịch như trên

A. 592cm².

B. 836cm².

C. 836cm³.

D. 592cm³.

Câu 25: Một lều trại có dạng hình lăng trụ đứng của tam giác, thể tích phần không gian bên trong là 2,16m³. Biết chiều dài CC’ của lều là 2,4m, chiều rộng BC của lều là 1,2m. Chiều cao AH của lều là:

A. 1,5m.

B. 0,9m.

C. 9m.

D. 15m.

Câu 26: Một căn phòng hình hộp chữ nhật có chiều dài 4,5m, chiều rộng 4m, chiều cao 3m. Người ta muốn lăn sơn trần nhà và bốn bức tường. Biết rằng tổng diện tích các cửa là 15m². Diện tích cần lăn sơn là:

A. 51m².

B. 36cm².

C. 54cm².

D. 69cm².

Câu 27: Cho hình vẽ, hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:

a) Số đo của \(\widehat {{B_3}}\) là:

A. \({50^0}\).

B. \({100^0}\).

C. \({130^0}\).

D. \({30^0}\).

b) Hai góc bù nhau là:

A. \(\widehat {{A_3}}\) và \(\widehat {{B_3}}\).

B. \(\widehat {{A_4}}\) và \(\widehat {{B_2}}\).

C. \(\widehat {{A_3}}\) và \(\widehat {{B_4}}\).

D. \(\widehat {{A_2}}\) và \(\widehat {{B_4}}\).

Câu 28: Cho đường thẳng mn, Oa là a là tia phân giác của góc pOn, biết \(\widehat {mOp} = {120^0}\). Số đo của góc aOn là:

A. \({40^0}\).

B. \({60^0}\).

C. \({30^0}\).

D. \({25^0}\).

Câu 29: Trong hình vẽ bên, có m // n, \(\widehat {{A_1}} = {85^0}\). Số đo góc B₁ là:

A. \({85^0}\).

B. \({98^0}\).

C. \({82^0}\).

D. \({95^0}\).

Câu 30: Cho hình vẽ dưới đây, Biết \(BC{\rm{//}}DE;\) \(DC\) là tia phân giác của \(\widehat {BDE}\), số đo \(\widehat {EDB}\) là

A. \(60^\circ \).

B. \(90^\circ \).

C. \(45^\circ \).

D. \(135^\circ \).

Câu 31: Cho hình vẽ, khẳng định nào sau đây là sai

A. \(AB{\rm{//}}CD\).

B. \(AB{\rm{//}}EF\).

C. \(CD{\rm{//}}EF\).

D. \(AB{\rm{//}}DE\).

Câu 32: Cho định lí: “Nếu \(Ax,\)\(By\) là hai tia phân giác của hai góc đồng vị trong tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì \(Ax\) song song với \(By\)”. Kết luận của định lí trên là

A. Nếu \(Ax,\)\(By\) là hai tia phân giác của hai góc đồng vị trong tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song.

B. \(Ax\) song song với \(By\).

C. \(Ax,\)\(By\) là hai tia phân giác của hai góc đồng vị.

D. Nếu \(Ax,\)\(By\) là hai tia phân giác của hai góc đồng vị tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì \(Ax\)song song với \(By\).

Câu 33: Cho các khẳng định sau

1. Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.

2. Hai góc bằng nhau thì đối đỉnh.

3. Nếu \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) thì \(MA{\rm{ }} = {\rm{ }}MB\).

4. Nếu \(MA{\rm{ }} = {\rm{ }}MB\) thì \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\).

Số các khẳng định đúng là

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

II. Phần tự luận

Bài 1. Tính theo cách hợp lý (nếu có thể):

a) \(\frac{5}{{15}} + \frac{{14}}{{25}} – \frac{4}{3} + \frac{{11}}{{25}}\).

b) \(\frac{5}{{20}} + 1\frac{7}{{11}} – 25\% – \left( {\frac{{18}}{{11}} – \frac{4}{9}} \right)\).

c) \( – \frac{3}{4}.\frac{{12}}{{ – 5}}.\left( { – \frac{{25}}{6}} \right)\).

d) \(2\frac{1}{9}.\frac{2}{3} + 15\frac{8}{9}.\frac{2}{3}\).

e) \(\left( {\frac{{ – 2}}{3} + \frac{3}{{13}}} \right):\frac{7}{8} + \left( {\frac{{ – 1}}{3} + \frac{{10}}{{13}}} \right):\frac{7}{8}\).

f) \(3:{\left( {\frac{{ – 3}}{2}} \right)^2} + \frac{1}{9}.\sqrt {36} + 0,75\).

g) \(\frac{{{{\left( { – 1} \right)}^7}}}{{15}} + {\left( { – \frac{2}{3}} \right)^2}:2\frac{2}{3} – \left| { – \frac{5}{6}} \right|\).

h) \(5:{\left( { – \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{2}{{15}}.\sqrt {\frac{9}{4}} – {\left( { – 2018} \right)^0} + 0,25\).

Bài 2. Tìm x, biết:

a) \(\frac{2}{3} + x = – \frac{1}{{12}}\)

b) \(\frac{5}{{11}}x + 4 = 6\frac{1}{{11}}\)

c) \({\left( {2x + 1} \right)^2} = \frac{{36}}{{25}}\)

d) \({\left( {3x – 1} \right)^3} = – \frac{1}{{27}}\)

e) \(\left| {\frac{1}{2}x – \frac{3}{4}} \right| – 2 = – \frac{3}{2}\)

f) \(\left( {\frac{{15}}{4} – 5x} \right)\left( {9{x^2} – 4} \right) = 0\)

g) \(\sqrt {x – 2} + \frac{1}{3} = 1\) với \(x \ge 2\)

h) \({7^{2x}} + {7^{2x + 3}} = 344\)

i) \(\frac{2}{{x + 3}} – \frac{1}{3} = \frac{{ – 5}}{{12}}\) với \(x \ne – 3\)

j) \(\frac{x}{3} = \frac{{12}}{x}\)

Bài 3. An đã hỏi một số bạn trong trường về hoạt động chiếm nhiều thời gian nhất trong tuần đầu tháng 6 vừa qua và thu được dữ liệu sau (D: đi du lịch, C: chơi thể thao, H: học thêm, L: làm việc nhà)

HDHDDCDDHDCDCCDHDHDCDDCLDCLDLDLDDLCCDDCD

a) An đã dụng phương pháp thu thập dữ liệu nào: quan sát, làm thí nghiệm, lập bảng hỏi hay phỏng vấn?

b) Dữ liệu thu thập được thuộc loại nào?

c) Hoàn thiện bảng thống kê sau vào vở.

d) Hoàn thiện biểu đồ hình quạt tròn vào vở.

Bài 4. Minh làm bài kiểm tra trình độ tiếng Anh trên mạng Internet 6 lần và ghi lại kết quả (tỉ lệ số câu đúng) như sau:

a) Vẽ biểu đồ đoạn thẳng biểu diễn bảng số liệu trên.

b) Nhận xét sự tiến bộ của Minh sau mỗi lần làm bài.

Bài 5. Nhà trường vận động mỗi bạn tặng một món quà cho các bạn học sinh vùng lũ lụt. Biểu đồ sau đây biểu diễn tỉ lệ học sinh lớp 7A tặng các món quà khác nhau.

a) Từ biểu đồ, em hãy lập bảng thống kê về tỉ lệ học sinh lớp 7A tặng các món quà khác nhau.

b) Lớp 7A có 40 học sinh. Tính số học tinh tặng từng loại món quà.

Bài 6. Cho hình vẽ 5, \(\widehat {{M_1}} = \widehat {{N_1}} = {65^0}\). Tính \(\widehat {{B_1}}\).

Bài 7. Cho hình vẽ 6, biết a // b. Tính số đo x.

Bài 8. Cho hình vẽ 7. Tính \(\widehat {AOB}\).

Bài 9. Cho hình vẽ 8.

a) Chứng minh BE // CF.

b) Tính \(\widehat {{D_1}}\).

Bài 10. Nhà bạn An có một bể cá hình hộp chữ nhật với kích thước như sau: chiều dài 1,5m; chiều rộng 1,2m; chiều cao 0,9m.

a) Tính thể tích bể cá nhà An.

b) An đổ nước vào bể sao cho khoảng cách từ mặt nước đến miệng bể là 20cm, hỏi An đã đổ bao nhiêu lít nước vào bể cá.

Bài 11. Thùng chứa của một chiếc máy thu hoạch có hình dạng một hình lăng trụ đứng tứ giác. Kích thước như hình mô phỏng. Hỏi thùng có dung tích bao nhiêu mét khối?

Bài 12*.

a) Tính GTNN của biểu thức

\(A = 2 + 3\sqrt {{x^2} + 1} \);

\(B = \left| {x – 1} \right| + \left| {x – 3} \right|\)

b) Tính GTLN của biểu thức

\(C = \frac{{5{x^2} + 12}}{{{x^2} + 2}}\);

\(D = 4 – \left| {5x – 2} \right| – \left| {3y + 12} \right|\)

Bài 13*. Cho \(A = \frac{{{{2023}^{2023}} + 1}}{{{{2023}^{2024}} + 1}};B = \frac{{{{2023}^{2022}} + 1}}{{{{2023}^{2023}} + 1}}\). So sánh A và B.

——– Hết ——–

Lời giải:

I. Trắc nghiệm

II. Phần tự luận

Bài 1. Tính theo cách hợp lý (nếu có thể):

a) \(\frac{5}{{15}} + \frac{{14}}{{25}} – \frac{4}{3} + \frac{{11}}{{25}}\).

b) \(\frac{5}{{20}} + 1\frac{7}{{11}} – 25\% – \left( {\frac{{18}}{{11}} – \frac{4}{9}} \right)\).

c) \( – \frac{3}{4}.\frac{{12}}{{ – 5}}.\left( { – \frac{{25}}{6}} \right)\).

d) \(2\frac{1}{9}.\frac{2}{3} + 15\frac{8}{9}.\frac{2}{3}\).

e) \(\left( {\frac{{ – 2}}{3} + \frac{3}{{13}}} \right):\frac{7}{8} + \left( {\frac{{ – 1}}{3} + \frac{{10}}{{13}}} \right):\frac{7}{8}\).

f) \(3:{\left( {\frac{{ – 3}}{2}} \right)^2} + \frac{1}{9}.\sqrt {36} + 0,75\).

g) \(\frac{{{{\left( { – 1} \right)}^7}}}{{15}} + {\left( { – \frac{2}{3}} \right)^2}:2\frac{2}{3} – \left| { – \frac{5}{6}} \right|\).

h) \(5:{\left( { – \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{2}{{15}}.\sqrt {\frac{9}{4}} – {\left( { – 2018} \right)^0} + 0,25\).

Hướng dẫn:

– Thực hiện các phép toán với các số hữu tỉ

– Tính lũy thừa của một số hữu tỉ

– Vận dụng kiến thức giá trị tuyệt đối của một số thực:

\(\left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l}x\,khi\,x > 0\\ – x\,khi\,x < 0\\0\,khi\,x = 0\end{array} \right.\)

– Tính toán căn bậc hai của một số thực

Lời giải

a) \(\frac{5}{{15}} + \frac{{14}}{{25}} – \frac{4}{3} + \frac{{11}}{{25}}\)

\(\begin{array}{l} = \frac{1}{3} + \frac{{14}}{{25}} – \frac{4}{3} + \frac{{11}}{{25}}\\ = \left( {\frac{1}{3} – \frac{4}{3}} \right) + \left( {\frac{{14}}{{25}} + \frac{{11}}{{25}}} \right)\\ = – 1 + 1\\ = 0\end{array}\)

b) \(\frac{5}{{20}} + 1\frac{7}{{11}} – 25\% – \left( {\frac{{18}}{{11}} – \frac{4}{9}} \right)\)

\(\begin{array}{l} = \frac{1}{4} + \frac{{18}}{{11}} – \frac{1}{4} – \frac{{18}}{{11}} + \frac{4}{9}\\ = \left( {\frac{1}{4} – \frac{1}{4}} \right) + \left( {\frac{{18}}{{11}} – \frac{{18}}{{11}}} \right) + \frac{4}{9}\\ = \frac{4}{9}\end{array}\)

c) \( – \frac{3}{4}.\frac{{12}}{{ – 5}}.\left( { – \frac{{25}}{6}} \right)\)

\(\begin{array}{l} = \frac{{ – 3.12.\left( { – 25} \right)}}{{4.\left( { – 5} \right).6}}\\ = \frac{{{{3.3.4.5}^2}}}{{4.\left( { – 5} \right).2.3}}\\ = \frac{{3.5}}{{ – 2}}\\ = \frac{{ – 15}}{2}\end{array}\)

d) \(2\frac{1}{9}.\frac{2}{3} + 15\frac{8}{9}.\frac{2}{3}\)

\(\begin{array}{l} = \left( {2\frac{1}{9} + 15\frac{8}{9}} \right).\frac{2}{3}\\ = \left[ {\left( {2 + 15} \right) + \left( {\frac{1}{9} + \frac{8}{9}} \right)} \right].\frac{2}{3}\\ = \left( {17 + 1} \right).\frac{2}{3}\\ = 18.\frac{2}{3}\\ = 12\end{array}\)

e) \(\left( {\frac{{ – 2}}{3} + \frac{3}{{13}}} \right):\frac{7}{8} + \left( {\frac{{ – 1}}{3} + \frac{{10}}{{13}}} \right):\frac{7}{8}\)

\(\begin{array}{l} = \left( {\frac{{ – 2}}{3} + \frac{3}{{13}} + \frac{{ – 1}}{3} + \frac{{10}}{{13}}} \right):\frac{7}{8}\\ = \left[ {\left( {\frac{{ – 2}}{3} + \frac{{ – 1}}{3}} \right) + \left( {\frac{3}{{13}} + \frac{{10}}{{13}}} \right)} \right]:\frac{7}{8}\\ = \left( { – 1 + 1} \right):\frac{7}{8}\\ = 0:\frac{7}{8}\\ = 0\end{array}\)

f) \(3:{\left( {\frac{{ – 3}}{2}} \right)^2} + \frac{1}{9}.\sqrt {36} + 0,75\)

\(\begin{array}{l} = 3:\frac{9}{4} + \frac{1}{9}.6 + \frac{3}{4}\\ = 3.\frac{4}{9} + \frac{6}{9} + \frac{3}{4}\\ = \frac{4}{3} + \frac{2}{3} + \frac{3}{4}\\ = 2 + \frac{3}{4}\\ = \frac{{11}}{4}\end{array}\)

g) \(\frac{{{{\left( { – 1} \right)}^7}}}{{15}} + {\left( { – \frac{2}{3}} \right)^2}:2\frac{2}{3} – \left| { – \frac{5}{6}} \right|\)

\(\begin{array}{l} = \frac{{ – 1}}{{15}} + \frac{4}{9}:\frac{8}{3} – \frac{5}{6}\\ = \frac{{ – 1}}{{15}} + \frac{4}{9}.\frac{3}{8} – \frac{5}{6}\\ = \frac{{ – 1}}{{15}} + \frac{1}{6} – \frac{5}{6}\\ = \frac{{ – 1}}{{15}} + \left( {\frac{1}{6} – \frac{5}{6}} \right)\\ = \frac{{ – 1}}{{15}} – \frac{2}{3}\\ = \frac{{ – 11}}{{15}}\end{array}\)

h) \(5:{\left( { – \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{2}{{15}}.\sqrt {\frac{9}{4}} – {\left( { – 2018} \right)^0} + 0,25\)

\(\begin{array}{l} = 5:\frac{{25}}{4} + \frac{2}{{15}}.\frac{3}{2} – 1 + \frac{1}{4}\\ = 5.\frac{4}{{25}} + \frac{1}{5} – 1 + \frac{1}{4}\\ = \frac{4}{5} + \frac{1}{5} – 1 + \frac{1}{4}\\ = 1 – 1 + \frac{1}{4}\\ = \frac{1}{4}\end{array}\)

Bài 2. Tìm x, biết:

a) \(\frac{2}{3} + x = – \frac{1}{{12}}\)

b) \(\frac{5}{{11}}x + 4 = 6\frac{1}{{11}}\)

c) \({\left( {2x + 1} \right)^2} = \frac{{36}}{{25}}\)

d) \({\left( {3x – 1} \right)^3} = – \frac{1}{{27}}\)

e) \(\left| {\frac{1}{2}x – \frac{3}{4}} \right| – 2 = – \frac{3}{2}\)

f) \(\left( {\frac{{15}}{4} – 5x} \right)\left( {9{x^2} – 4} \right) = 0\)

g) \(\sqrt {x – 2} + \frac{1}{3} = 1\) với \(x \ge 2\)

h) \({7^{2x}} + {7^{2x + 3}} = 344\)

i) \(\frac{2}{{x + 3}} – \frac{1}{3} = \frac{{ – 5}}{{12}}\) với \(x \ne – 3\)

j) \(\frac{x}{3} = \frac{{12}}{x}\)

Hướng dẫn:

– Sử dụng kiến thức chuyển vế, tính toán với số hữu tỉ

– Vận dụng kiến thức giá trị tuyệt đối của một số thực:

\(\left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l}x\,khi\,x > 0\\ – x\,khi\,x < 0\\0\,khi\,x = 0\end{array} \right.\)

– Vận dụng kiến thức căn bậc hai của một số thực

Lời giải

a) \(\frac{2}{3} + x = – \frac{1}{{12}}\)

\(\begin{array}{l}x = – \frac{1}{{12}} – \frac{2}{3}\\x = \frac{{ – 3}}{4}\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{{ – 3}}{4}\).

b) \(\frac{5}{{11}}x + 4 = 6\frac{1}{{11}}\)

\(\begin{array}{l}\frac{5}{{11}}x = 6\frac{1}{{11}} – 4\\\frac{5}{{11}}x = 2\frac{1}{{11}}\\\frac{5}{{11}}x = \frac{{23}}{{11}}\\x = \frac{{23}}{{11}}:\frac{5}{{11}}\\x = \frac{{23}}{5}\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{{23}}{5}\).

c) \({\left( {2x + 1} \right)^2} = \frac{{36}}{{25}}\)

\({\left( {2x + 1} \right)^2} = {\left( { \pm \frac{6}{5}} \right)^2}\)

\( \Rightarrow 2x + 1 = \frac{6}{5}\) hoặc \(2x + 1 = – \frac{6}{5}\)

TH1: \(2x + 1 = \frac{6}{5}\)

\(\begin{array}{l}2x = \frac{6}{5} – 1\\2x = \frac{1}{5}\\x = \frac{1}{5}:2\\x = \frac{1}{{10}}\end{array}\)

TH2: \(2x + 1 = – \frac{6}{5}\)

\(\begin{array}{l}2x + 1 = – \frac{6}{5}\\2x = – \frac{6}{5} – 1\\2x = – \frac{{11}}{5}\\x = – \frac{{11}}{5}:2\\x = – \frac{{11}}{{10}}\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x \in \left\{ {\frac{1}{{10}}; – \frac{{11}}{{10}}} \right\}\).

d) \({\left( {3x – 1} \right)^3} = – \frac{1}{{27}}\)

\(\begin{array}{l}{\left( {3x – 1} \right)^3} = – \frac{1}{{27}}\\{\left( {3x – 1} \right)^3} = {\left( { – \frac{1}{3}} \right)^3}\\3x – 1 = – \frac{1}{3}\\3x = – \frac{1}{3} + 1\\3x = \frac{2}{3}\\x = \frac{2}{9}\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{2}{9}\).

e) \(\left| {\frac{1}{2}x – \frac{3}{4}} \right| – 2 = – \frac{3}{2}\)

\(\begin{array}{l}\left| {\frac{1}{2}x – \frac{3}{4}} \right| – 2 = – \frac{3}{2}\\\left| {\frac{1}{2}x – \frac{3}{4}} \right| = – \frac{3}{2} + 2\\\left| {\frac{1}{2}x – \frac{3}{4}} \right| = \frac{1}{2}\end{array}\)

\( \Rightarrow \frac{1}{2}x – \frac{3}{4} = \frac{1}{2}\) hoặc \(\frac{1}{2}x – \frac{3}{4} = – \frac{1}{2}\)

TH1: \(\frac{1}{2}x – \frac{3}{4} = \frac{1}{2}\)

\(\begin{array}{l}\frac{1}{2}x = \frac{1}{2} + \frac{3}{4}\\\frac{1}{2}x = \frac{5}{4}\\x = \frac{5}{4}:\frac{1}{2}\\x = \frac{5}{2}\end{array}\)

TH2: \(\frac{1}{2}x – \frac{3}{4} = – \frac{1}{2}\)

\(\begin{array}{l}\frac{1}{2}x = – \frac{1}{2} + \frac{3}{4}\\\frac{1}{2}x = \frac{1}{4}\\x = \frac{1}{4}:\frac{1}{2}\\x = \frac{1}{2}\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x \in \left\{ {\frac{5}{2};\frac{1}{2}} \right\}\).

f) \(\left( {\frac{{15}}{4} – 5x} \right)\left( {9{x^2} – 4} \right) = 0\)

\(\frac{{15}}{4} – 5x = 0\) hoặc \(9{x^2} – 4 = 0\)

TH1: \(\frac{{15}}{4} – 5x = 0\)

\(\begin{array}{l}5x = \frac{{15}}{4}\\x = \frac{3}{4}\end{array}\)

TH2: \(9{x^2} – 4 = 0\)

\(\begin{array}{l}9{x^2} = 4\\{x^2} = \frac{4}{9}\\x = \pm \frac{2}{3}\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x \in \left\{ { \pm \frac{2}{3};\frac{3}{4}} \right\}\).

g) \(\sqrt {x – 2} + \frac{1}{3} = 1\) với \(x \ge 2\)

\(\begin{array}{l}\sqrt {x – 2} = \frac{2}{3}\\x – 2 = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2}\\x – 2 = \frac{4}{9}\\x = \frac{{22}}{9}\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{{22}}{9}\).

h) \({7^{2x}} + {7^{2x + 3}} = 344\)

\(\begin{array}{l}{7^{2x}} + {7^{2x}}{.7^3} = 344\\{7^{2x}} + {343.7^{2x}} = 344\\{7^{2x}}\left( {1 + 343} \right) = 344\\{7^{2x}}.344 = 344\\{7^{2x}} = 1\\{7^{2x}} = {7^0}\\2x = 0\\x = 0\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 0\).

i) \(\frac{2}{{x + 3}} – \frac{1}{3} = \frac{{ – 5}}{{12}}\) với \(x \ne – 3\)

\(\begin{array}{l}\frac{{2.12}}{{\left( {x + 3} \right).12}} – \frac{{4\left( {x + 3} \right)}}{{3.4\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{ – 5\left( {x + 3} \right)}}{{12\left( {x + 3} \right)}}\\\frac{{24 – 4\left( {x + 3} \right)}}{{12\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{ – 5\left( {x + 3} \right)}}{{12\left( {x + 3} \right)}}\\ \Rightarrow 24 – 4x – 12 = – 5x – 15\\ – 4x + 5x = – 15 + 12 – 24\\x = – 27\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = – 27\).

j) \(\frac{x}{3} = \frac{{12}}{x}\) (điều kiện: \(x \ne 0\))

\(\begin{array}{l}\frac{x}{3} – \frac{{12}}{x} = 0\\\frac{{{x^2} – 12.3}}{{3x}} = 0\\\frac{{{x^2} – 36}}{{3x}} = 0\\ \Rightarrow {x^2} – 36 = 0\\{x^2} = 36\end{array}\)

\(x = 6\) hoặc \(x = – 6\) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x \in \left\{ { \pm 6} \right\}\).

Bài 3. An đã hỏi một số bạn trong trường về hoạt động chiếm nhiều thời gian nhất trong tuần đầu tháng 6 vừa qua và thu được dữ liệu sau (D: đi du lịch, C: chơi thể thao, H: học thêm, L: làm việc nhà)

HDHDDCDDHDCDCCDHDHDCDDCLDCLDLDLDDLCCDDCD

a) An đã dụng phương pháp thu thập dữ liệu nào: quan sát, làm thí nghiệm, lập bảng hỏi hay phỏng vấn?

b) Dữ liệu thu thập được thuộc loại nào?

c) Hoàn thiện bảng thống kê sau vào vở.

d) Hoàn thiện biểu đồ hình quạt tròn vào vở.

Hướng dẫn:

Đọc dãy dữ liệu để trả lời câu hỏi.

Lời giải

a) An đã dùng phương pháp phỏng vấn để thu thập dữ liệu.

b) Dữ liệu thu được là dữ liệu không là số, không thể sắp thứ tự.

c) Trong dãy dữ liệu có 10 chữ cái C tức là có 10 bạn dành nhiều thời gian chơi thể thao. Tương tự, có 5 chữ cái H, 5 chữ cái L, 20 chữ cái D.

Ta có bảng thống kê:

d) Biểu đồ hoàn thiện:

Bài 4. Minh làm bài kiểm tra trình độ tiếng Anh trên mạng Internet 6 lần và ghi lại kết quả (tỉ lệ số câu đúng) như sau:

a) Vẽ biểu đồ đoạn thẳng biểu diễn bảng số liệu trên.

b) Nhận xét sự tiến bộ của Minh sau mỗi lần làm bài.

Hướng dẫn:

Biểu đồ đi lên biểu thị kết quả tăng dần theo thời gian.

Lời giải

a)

b) Minh có sự tiến bộ sau mỗi lần làm bài

Từ lần kiểm tra thứ nhất đến lần kiểm tra thứ hai, Minh có sự tiến bộ nhiều nhất.

Bài 5. Nhà trường vận động mỗi bạn tặng một món quà cho các bạn học sinh vùng lũ lụt. Biểu đồ sau đây biểu diễn tỉ lệ học sinh lớp 7A tặng các món quà khác nhau.

a) Từ biểu đồ, em hãy lập bảng thống kê về tỉ lệ học sinh lớp 7A tặng các món quà khác nhau.

b) Lớp 7A có 40 học sinh. Tính số học tinh tặng từng loại món quà.

Hướng dẫn:

a) Quan sát biểu đồ để lập bảng thống kê.

b) Tính m% của a, ta tính \(\frac{m}{{100}}.a\)

Lời giải

a) Ta có bảng thống kê về tỉ lệ học sinh lớp 7A tặng các món quà khác nhau như sau:

b) Số học sinh tặng đồ dùng học tập là:

\(\frac{{50}}{{100}}.40 = 20\) (học sinh)

Số học sinh tặng quần áo là:

\(\frac{{20}}{{100}}.40 = 8\) (học sinh)

Số học sinh tặng đồ chơi là:

\(\frac{{30}}{{100}}.40 = 12\) (học sinh)

Vậy có 20 học sinh tặng quà tặng là đồ dùng học tập, 8 học sinh tặng quà tặng là quần áo, 12 học sinh tặng quà tặng là đồ chơi.

Bài 6. Cho hình vẽ 5, \(\widehat {{M_1}} = \widehat {{N_1}} = {65^0}\). Tính \(\widehat {{B_1}}\).

Hướng dẫn:

Sử dụng dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song.

Tính chất của hai đường thẳng song song.

Lời giải

Ta có: \(\widehat {{M_1}} = \widehat {{N_1}} = {65^0}\).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AM // BN.

\( \Rightarrow \widehat {MAB} = \widehat {{B_1}}\) (hai góc đồng vị)

\(\widehat {MAB} = {90^0} \Rightarrow \widehat {{B_1}} = {90^0}\).

Bài 7. Cho hình vẽ 6, biết a // b. Tính số đo x.

Hướng dẫn:

Kẻ đường thẳng đi qua G song song với a và b.

Sử dụng tính chất của hai đường thẳng song song, hai góc kề bù.

Lời giải

Kẻ đường thẳng m đi qua G và song song với a và b.

Khi đó \(\widehat {{E_1}} = \widehat {{G_1}} = {42^0}\) (hai góc so le trong)

Ta có \(\widehat {{F_1}}\) và \(\widehat {{F_2}}\) là hai góc kề bù \( \Rightarrow \widehat {{F_1}} + \widehat {{F_2}} = {180^0}\)

\( \Rightarrow \widehat {{F_2}} = {180^0} – \widehat {{F_1}} = {180^0} – {138^0} = {42^0}\)

Vì m // b nên \(\widehat {{G_2}} = \widehat {{F_2}} = {42^0}\) (hai góc so le trong)

Mà x = \(\widehat {{G_1}} + \widehat {{G_2}}\)

\( \Rightarrow \widehat {{G_1}} + \widehat {{G_2}} = {42^0} + {42^0} = {84^0}\)

Vậy \(x = {84^0}\).

Bài 8. Cho hình vẽ 7. Tính \(\widehat {AOB}\).

Hướng dẫn:

– Sử dụng dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song.

– Kẻ đường thẳng đi qua O song song với AM.

– Sử dụng tính chất của hai đường thẳng song song, hai góc kề bù.

Lời giải

Ta có: \(\widehat M = \widehat N = {90^0}\) (hai góc đồng vị) nên AM // BN.

Qua O kẻ đường thẳng m song song với AM và BN, khi đó:

\(\widehat {{A_1}} = \widehat {{O_4}} = {125^0};\widehat {{B_1}} = \widehat {{O_2}}\) (các cặp góc so le trong)

Mà \(\widehat {{O_1}}\) và \(\widehat {{O_4}}\) là hai góc kề bù nên \(\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_4}} = {180^0} \Rightarrow \widehat {{O_1}} = {55^0}\);

\(\widehat {{O_2}}\) và \(\widehat {{O_3}}\) là hai góc kề bù nên \(\widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}} = {180^0} \Rightarrow \widehat {{O_2}} = {40^0}\).

Ta có: \(\widehat {AOB} = \widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} = {55^0} + {40^0} = {95^0}\).

Vậy \(\widehat {AOB} = {95^0}\).

Bài 9. Cho hình vẽ 8.

a) Chứng minh BE // CF.

b) Tính \(\widehat {{D_1}}\).

Hướng dẫn:

a) Sử dụng dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song, hai góc kề bù.

b) Sử dụng tính chất của hai đường thẳng song song, hai góc đối đỉnh.

Lời giải

a) Ta có \(\widehat {{F_1}} + \widehat {{F_2}} = {180^0}\) (hai góc kề bù) \( \Rightarrow \widehat {{F_2}} = {180^0} – {65^0} = {115^0}\).

Ta thấy: \(\widehat {{E_1}} = \widehat {{F_2}} = {115^0}\)

Mà \(\widehat {{E_1}}\) và \(\widehat {{F_2}}\) là hai góc ở vị trí đồng vị nên BE // CF (đpcm)

b) Ta có: \(\widehat A = \widehat B = {90^0}\). Mà \(\widehat A\) và \(\widehat B\) ở vị trí đồng vị nên AD // BE.

\( \Rightarrow \widehat {{D_1}} = \widehat {{E_2}}\) (hai góc đồng vị).

Mà \(\widehat {{E_2}} = \widehat {{E_1}} = {115^0}\) (hai góc đối đỉnh)

\( \Rightarrow \widehat {{D_1}} = {115^0}\).

Vậy \(\widehat {{D_1}} = {115^0}\).

Bài 10. Nhà bạn An có một bể cá hình hộp chữ nhật với kích thước như sau: chiều dài 1,5m; chiều rộng 1,2m; chiều cao 0,9m.

a) Tính thể tích bể cá nhà An.

b) An đổ nước vào bể sao cho khoảng cách từ mặt nước đến miệng bể là 20cm, hỏi An đã đổ bao nhiêu lít nước vào bể cá.

Hướng dẫn:

a) Sử dụng công thức tính thể tích hình hộp chữ nhật.

b) Tính chiều cao nước mà bạn An đổ vào, sử dụng công thức tính thể tích hình hộp chữ nhật để tính số lít nước đổ vào bể cá.

Lời giải

a) Thể tích bể cá nhà An là:

\(V = 1,5.1,2.0,9 = 1,62 \left( {{m^3}} \right)\)

b) Ta có: 20cm = 0,2m nên chiều cao nước mà bạn An đổ vào bể cá là: 0,9 – 0,2 = 0,7 (m)

Thể tích nước mà bạn An đổ vào bể cá là:

\({V_n} = 1,5.1,2.0,7 = 1,26\left( {{m^3}} \right) = 1260(l)\)

Vậy An đã đổ vào bể 1260 lít nước.

Bài 11. Thùng chứa của một chiếc máy thu hoạch có hình dạng một hình lăng trụ đứng tứ giác. Kích thước như hình mô phỏng. Hỏi thùng có dung tích bao nhiêu mét khối?

Hướng dẫn:

Sử dụng công thức tính diện tích hình thang.

Sử dụng công thức tính diện tích hình lăng trụ đứng.

Lời giải

Gọi hình biểu diễn thùng chứa là hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ với hai đáy ABCD và A’B’C’D’ là các hình thang vuông.

Diện tích hình thang đáy ABCD là:

\({S_{ABCD}} = \frac{1}{2}\left( {AB + CD} \right).BC = \frac{1}{2}\left( {3 + 1,5} \right).3 = 6,75\left( {{m^2}} \right)\)

Thể tích hình chóp ABCD là:

\(V = {S_{ABCD}}.CC’ = 6,75.2 = 13,5\left( {{m^3}} \right)\)

Vậy thùng có dung tích \(13,5{m^3}\)

Bài 12*.

a) Tính GTNN của biểu thức

\(A = 2 + 3\sqrt {{x^2} + 1} \);

\(B = \left| {x – 1} \right| + \left| {x – 3} \right|\)

b) Tính GTLN của biểu thức

\(C = \frac{{5{x^2} + 12}}{{{x^2} + 2}}\);

\(D = 4 – \left| {5x – 2} \right| – \left| {3y + 12} \right|\)

Hướng dẫn:

a) * \(A = 2 + 3\sqrt {{x^2} + 1} \)

Xét giá trị của \({x^2} + 1\) để tính giá trị của \(A = 2 + 3\sqrt {{x^2} + 1} \).

* \(B = \left| {x – 1} \right| + \left| {x – 3} \right|\)

Xét các điểm biểu diễn số thực x trên trục số.

– Khi x nằm ngoài đoạn 1 và 3

– Khi x nằm trong đoạn 1 và 3

b) Biến đổi C, xuất phát từ \({x^2} \ge 0\,\forall x \in \mathbb{R}\) để tính giá trị lớn nhất của C.

Biến đổi D thành \(D = 4 – \left( {\left| {5x – 2} \right| + \left| {3y + 12} \right|} \right)\), tính GTNN của \(\left| {5x – 2} \right| + \left| {3y + 12} \right|\).

Lời giải

* \(A = 2 + 3\sqrt {{x^2} + 1} \)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{x^2} \ge 0\,\forall x \in \mathbb{R}\\{x^2} + 1 \ge 1\,\forall x \in \mathbb{R}\\\sqrt {{x^2} + 1} \ge 1\,\forall x \in \mathbb{R}\\2 + 3\sqrt {{x^2} + 1} \ge 2 + 3.1 = 5\,\forall x \in \mathbb{R}\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \({x^2} = 0\) hay \(x = 0\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 5 khi x = 0.

* \(B = \left| {x – 1} \right| + \left| {x – 3} \right|\)

Xét các điểm biểu diễn số thực x trên trục số.

Biểu thức đã cho đúng bằng tổng các khoảng cách từ x tới hai điểm 1 và 3

– Nếu x nằm ngoài đoạn giữa 1 và 3 thì tổng khoảng cách trên lớn hơn khoảng cách giữa 1 và 3

– Nếu x nằm trong đoạn giữa 1 và 3 thì tổng khoảng cách nói trên đúng bằng khoảng cách giữa 1 và 3

Vì vậy biểu thức B có giá trị nhỏ nhất là 2, đạt được khi \(1 \le x \le 3\)

b) * \(C = \frac{{5{x^2} + 12}}{{{x^2} + 2}}\)

Ta có: \(C = \frac{{5{x^2} + 12}}{{{x^2} + 2}} = \frac{{5\left( {{x^2} + 1} \right) + 7}}{{{x^2} + 2}} = 5 + \frac{7}{{{x^2} + 2}}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{x^2} \ge 0\,\forall x \in \mathbb{R}\\{x^2} + 2 \ge 2\,\forall x \in \mathbb{R}\\\frac{1}{{{x^2} + 2}} \le \frac{1}{2}\forall x \in \mathbb{R}\\\frac{7}{{{x^2} + 2}} \le \frac{7}{2}\forall x \in \mathbb{R}\\5 + \frac{7}{{{x^2} + 2}} \le 5 + \frac{7}{2} = \frac{{17}}{2}\forall x \in \mathbb{R}\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \({x^2} = 0\) hay \(x = 0\).

Vậy giá trị lớn nhất của A là \(\frac{{17}}{2}\) khi x = 0.

* \(D = 4 – \left| {5x – 2} \right| – \left| {3y + 12} \right|\)

Ta có: \(D = 4 – \left| {5x – 2} \right| – \left| {3y + 12} \right| = 4 – \left( {\left| {5x – 2} \right| + \left| {3y + 12} \right|} \right)\) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \(\left| {5x – 2} \right| + \left| {3y + 12} \right|\) nhỏ nhất.

Vì \(\left| {5x – 2} \right| \ge 0\,\forall x\) nên giá trị nhỏ nhất của \(\left| {5x – 2} \right| = 0\) khi \(x = \frac{2}{5}\);

\(\left| {3y + 12} \right| \ge 0\,\forall y \in \mathbb{R}\) nên giá trị nhỏ nhất của \(\left| {3y + 12} \right| = 0\) khi \(y = – 4\)

Vậy giá trị lớn nhất của D là \(D = 4 – \left( {0 + 0} \right) = 4\) khi \(x = \frac{2}{5}\), \(y = – 4\).

Bài 13*. Cho \(A = \frac{{{{2023}^{2023}} + 1}}{{{{2023}^{2024}} + 1}};B = \frac{{{{2023}^{2022}} + 1}}{{{{2023}^{2023}} + 1}}\). So sánh A và B.

Hướng dẫn:

Nhân cả hai vế của A và B với 2023 để so sánh.

Lời giải

Ta có:

\(\begin{array}{l}2023.A = \frac{{{{2023}^{2024}} + 2023}}{{{{2023}^{2024}} + 1}} = \frac{{\left( {{{2023}^{2024}} + 1} \right) + 2022}}{{{{2023}^{2024}} + 1}} = 1 + \frac{{2022}}{{{{2023}^{2024}} + 1}}\\2023.B = \frac{{{{2023}^{2023}} + 2023}}{{{{2023}^{2023}} + 1}} = \frac{{\left( {{{2023}^{2023}} + 1} \right) + 2022}}{{{{2023}^{2023}} + 1}} = 1 + \frac{{2022}}{{{{2023}^{2023}} + 1}}\end{array}\)

Vì \({2023^{2024}} + 1 > {2023^{2023}} + 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{{{{2023}^{2024}} + 1}} < \frac{1}{{{{2023}^{2023}} + 1}}\\ \Rightarrow \frac{{2022}}{{{{2023}^{2024}} + 1}} < \frac{{2022}}{{{{2023}^{2023}} + 1}}\\ \Rightarrow 1 + \frac{{2022}}{{{{2023}^{2024}} + 1}} < 1 + \frac{{2022}}{{{{2023}^{2023}} + 1}}\\ \Rightarrow A < B\end{array}\)

Vậy A < B