Lời giải Câu hỏi Vận dụng 2 trang 35 SGK Toán 12 Kết nối tri thức – Bài 14. Phương trình mặt phẳng. Hướng dẫn: Tìm cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} , \overrightarrow {AC} \.
Câu hỏi/Đề bài:
Trong tình huống mở đầu, hãy thực hiện các bước sau và trả lời câu hỏi đã được nêu ra.
a) Xác định tọa độ của vị trí \({M_1},{M_2},{M_3}\) của vật tương ứng với các thời điểm \(t = 0,t = \frac{\pi }{2},t = \pi \).
b) Chứng minh rằng \({M_1},{M_2},{M_3}\) không thẳng hàng và viết phương trình mặt phẳng \(\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)\).
c) Vị trí \(M\left( {\cos t – \sin t,\cos t + \sin t,\cos t} \right)\) có luôn thuộc mặt phẳng \(\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)\) hay không?
Hướng dẫn:
Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng để viết: Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi ba điểm không thẳng hàng A, B, C có thể thực hiện theo các bước sau:
+ Tìm cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \)
+ Tìm vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\).
+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A và biết vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \).
Lời giải:
a) Với \(t = 0\) ta có: \({M_1}\left( {1;1;1} \right)\)
Với \(t = \frac{\pi }{2}\) ta có: \({M_2}\left( { – 1;1;0} \right)\)
Với \(t = \pi \) ta có: \({M_3}\left( { – 1; – 1; – 1} \right)\)
b) Hai vectơ \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \left( { – 2;0; – 1} \right),\overrightarrow {{M_1}{M_3}} \left( { – 2; – 2; – 2} \right)\) không cùng phương nên ba điểm \({M_1},{M_2},{M_3}\) không thẳng hàng.
c) Mặt phẳng \(\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)\) có cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \left( { – 2;0; – 1} \right),\overrightarrow {{M_1}{M_3}} \left( { – 2; – 2; – 2} \right)\) nên có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_3}} } \right]\).
Ta có: \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_3}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ – 1}\\{ – 2}&{ – 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ – 1}&{ – 2}\\{ – 2}&{ – 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ – 2}&0\\{ – 2}&{ – 2}\end{array}} \right|} \right) = \left( { – 2; – 2;4} \right)\)
Mặt phẳng \(\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \left( { – 2; – 2;4} \right)\) và đi qua điểm \({M_2}\left( { – 1;1;0} \right)\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)\) là:
\( – 2\left( {x + 1} \right) – 2\left( {y – 1} \right) + 4z = 0 \Leftrightarrow x + 1 + y – 1 – 2z = 0 \Leftrightarrow x + y – 2z = 0\) (1)
c) Với \(M\left( {\cos t – \sin t,\cos t + \sin t,\cos t} \right)\) thay vào (1) ta có:
$\cos t-\sin t+\cos t+\sin t-2\cos t=0\Leftrightarrow 0=0\left( L D\right)$
Vậy \(M\left( {\cos t – \sin t,\cos t + \sin t,\cos t} \right)\) thuộc mặt phẳng \(\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)\). Do đó, vật thể M luôn chuyển động trong một mặt phẳng cố định.