Hướng dẫn giải Câu hỏi Vận dụng 1 trang 9 SGK Toán 12 Kết nối tri thức – Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số. Hướng dẫn: Sử dụng kiến thức về ý nghĩa cơ học của đạo hàm để tìm hàm vận tốc.
Câu hỏi/Đề bài:
Giải bài toán trong tình huống mở đầu bằng cách thực hiện lần lượt các yêu cầu sau:
a) Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm, vận tốc v(t) là đạo hàm của s(t). Hãy tìm vận tốc v(t).
b) Xét dấu của hàm v(t), từ đó suy ra câu trả lời.
Bài toán mở đầu:
Xét một chất điểm chuyển động trên một trục số nằm ngang, chiều dương từ trái sang phải (H.1.1). Giả sử vị trí s(t) (mét) của chất điểm trên trục số đã chọn tại thời điểm t (giây) được cho bởi công thức \(s\left( t \right) = {t^3} – 9{t^2} + 15t,t \ge 0\). Hỏi trong khoảng thời gian nào thì chất điểm chuyển động sang phải, trong khoảng thời gian nào thì chất điểm chuyển động sang trái?
Hướng dẫn:
a) Sử dụng kiến thức về ý nghĩa cơ học của đạo hàm để tìm hàm vận tốc: Theo ý nghĩa cơ học, vận tốc v(t) là đạo hàm của hàm số s(t).
b) Chất điểm chuyển động theo chiều dương khi \(v\left( t \right) > 0\).
Chất điểm chuyển động theo chiều âm khi \(v\left( t \right) < 0\)
Lời giải:
a) Ta có: \(v\left( t \right) = s’\left( t \right) = \left( {{t^3} – 9{t^2} + 15t} \right)’ = 3{t^2} – 18t + 15\)
b) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).
Ta có: \(v\left( t \right) > 0 \Leftrightarrow 3{t^2} – 18t + 15 > 0 \Leftrightarrow \left( {t – 1} \right)\left( {t – 5} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t 5\end{array} \right.\)
\(v\left( t \right) < 0 \Leftrightarrow 3{t^2} – 18t + 15 < 0 \Leftrightarrow \left( {t – 1} \right)\left( {t – 5} \right) < 0 \Leftrightarrow 1 < t < 5\)
Chất điểm chuyển động theo chiều dương (sang bên phải) khi \(v\left( t \right) > 0\), tức là \(t \in \left( { – \infty ;1} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)\).
Chất điểm chuyển động theo chiều âm (sang bên trái) khi \(v\left( t \right) < 0\), tức là \(1 < t < 5\).