Giải chi tiết Câu hỏi Vận dụng 1 trang 45 SGK Toán 12 Kết nối tri thức – Bài 15. Phương trình đường thẳng trong không gian. Tham khảo: Sử dụng kiến thức về phương trình tham số của đường thẳng để viết phương trình tham số đường thẳng.
Câu hỏi/Đề bài:
(H.5.27) Trong tình huống mở đầu hãy thực hiện các bước sau và trả lời câu hỏi đã được nêu ra.
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng MN.
b) Tính tọa độ giao điểm D của đường thẳng MN với mặt phẳng Oxy.
c) Hỏi điểm D có nằm giữa hai điểm M và N hay không?
Hướng dẫn:
Sử dụng kiến thức về phương trình tham số của đường thẳng để viết phương trình tham số đường thẳng: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\). Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) (t là tham số, \(t \in \mathbb{R}\)).
Lời giải:
a) Đường thẳng MN đi qua điểm \(M\left( {2;3; – 4} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {MN} \left( { – 3; – 3;12} \right)\) nên phương trình tham số của đường thẳng MN là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 – 3t\\y = 3 – 3t\\z = – 4 + 12t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).
b) Mặt phẳng (Oxy) đi qua điểm \(O\left( {0;0;0} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow k \left( {0;0;1} \right)\) nên phương trình mặt phẳng Oxy: \(z = 0\)
Vì D là giao điểm của đường thẳng MN với (Oxy) nên D\(\left( {2 – 3t;3 – 3t; – 4 + 12t} \right)\)
Mà D thuộc mặt phẳng (Oxy) nên \( – 4 + 12t = 0 \Rightarrow t = \frac{1}{3}\). Do đó, \(D\left( {1;2;0} \right)\).
c) Ta có: \(MD = \sqrt {{{\left( {1 – 2} \right)}^2} + {{\left( {2 – 3} \right)}^2} + {{\left( {0 + 4} \right)}^2}} = 3\sqrt 2 \)
\(\overrightarrow {ND} \left( {2;2; – 8} \right) \Rightarrow ND = \sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { – 8} \right)}^2}} = 6\sqrt 2 \), \(MN = \sqrt {{{\left( { – 3} \right)}^2} + \left( { – {3^2}} \right) + {{12}^2}} = 9\sqrt 2 \)
Do đó, \(MD + ND = MN\). Mà D thuộc đường thẳng MN suy ra điểm D nằm giữa hai điểm M và N.
Do đó, tấm bìa có che khuất tầm nhìn của người quan sát đối với vật đặt ở điểm N.